마이셀-메르텐스 상수

틀:위키데이터 속성 추적 마이셀-메르텐스 상수(틀:Llang)는 수학 상수중 하나이다.

다음은 메르텐스의 정리에서 메르텐스의 제2정리(Mertens' 2nd theorems)이다.

$p$를 소수라 하면, 다음 등식이 성립한다.

$M=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-\ln \ln n+\sum _{p\le n}\frac{1}{p})=B_1=0.2614972128\dots$ 틀:OEIS

이 수렴값($B_1$)을 마이셀-메르텐스 상수(Meissel–Mertens constant) 또는 메르텐스 상수라 한다.

오일러-마스케로니 상수 $\gamma$ 와의 관계

$B_1=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\ln (1-\frac{1}{p_n})+\frac{1}{p_n})+\gamma$

$B_1=\sum _p(\ln (1-\frac{1}{p})+\frac{1}{p})+\gamma$

$=\sum _p(\ln \left(\frac{p-1}{p}\right)+\frac{1}{p})+\gamma$

$B_1=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(\frac{\mu (n)}{n}\ln (\zeta (n)))+\gamma$

$\mu$는 뫼비우스 함수 $,\zeta$는 리만 제타 함수 $,\gamma$ 오일러-마스케로니 상수

$B_2$ 메르텐스 상수

$B_2=B_1+\left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_n(p_n-1)}\right)$

$B_2=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\ln (1-\frac{1}{p_n})+\frac{1}{p_n})+\gamma +\left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_n(p_n-1)}\right)$

$B_2=(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(ln(1-\frac{1}{p_n})\right)+(\frac{1}{p_n}+\frac{1}{p_n^2-p_n}))+\gamma$

$B_2=\left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(ln(1-\frac{1}{p_n})+\frac{1}{p_n-1})\right)+\gamma$

$B_2=\left(\sum _{x=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\varphi (x)ln(\zeta (x))}{x}\right)+\gamma$

$=1.034653...$ 틀:OEIS

$\varphi$는 오일러 피 함수 $,\zeta$는 리만 제타 함수 $,\gamma$ 오일러-마스케로니 상수

메르텐스의 제1정리

메르텐스의 제1정리로부터 메르텐스 상수 $B_3$를 얻을수있다.

$p$를 소수라 하면, 다음 등식이 성립한다.

$B_3=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\ln n-\sum _{p\le n}\frac{\ln p}{p})$

$B_3=\left(\sum _{x=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{y=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln p_y}{p_y^x}\right)+\gamma$

이 수렴값은 약 $1.3325822757..$이다.틀:OEIS

같이 보기

• 브룬 상수
• 쌍둥이 소수 상수
• 수학 상수

각주

• (OEIS)http://oeis.org/A271971
• (OEIS)http://oeis.org/A161529
• (OEIS)http://oeis.org/A272531
• (OEIS)http://oeis.org/A136141
• (OEIS)http://oeis.org/A075986
• (OEIS)http://oeis.org/A166509
• (OEIS)http://oeis.org/A276524
• (OEIS)http://oeis.org/A249270
• (OEIS)http://oeis.org/A249271