니븐 상수

틀:위키데이터 속성 추적 정수론에서 니븐 상수(Niven constant)는 이반 니븐(Ivan Niven)의 이름을 따서 이름붙여진 수학 상수이다.

양의 정수 n에 대하여, $H(n)$을 n의 소인수분해에 나타나는 가장 큰 지수를 나타내는 수론적 함수로 정의하자. 또한 $H(1)=1$로 정의하자. 이 $H(n)$ 함수에 대해, 니븐 상수는 다음과 같이 정의된다:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}H(k)=1+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{\zeta (k)})=1.705211\dots$

여기서 $\zeta (s)$는 리만 제타 함수이다(Niven, 1969).

같은 논문에서, 니븐은

$\sum _{j=1}^{n}h(j)=n+c\sqrt{n}+o(\sqrt{n})$

임도 보였다. 여기서 $h(n)$은 양의 정수 n의 소인수분해에 나타나는 가장 작은 지수를 나타내는 수론적 함수로 정의되며, $h(1)=1$이다. 또한, $o$는 작은 o 표기법을 나타내며 상수 $c$의 값은

$c=\frac{\zeta \left(\frac{3}{2}\right)}{\zeta (3)}$

이다. 니븐의 식으로부터,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{j=1}^{n}h(j)=1$

을 얻을 수 있다.

리만 제타 함수의 특수 값

$\zeta (-1)=-\frac{1}{12}$

$\zeta (0)=-\frac{1}{2}$

$\zeta \left(\frac{1}{2}\right)\approx -1.4603545....(OEISA059750)$

$\zeta (1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+....=\mathrm{\infty }$

$\zeta \left(\frac{3}{2}\right)\approx 2.612....(OEISA078434)$

$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}=1.645....(OEISA013661)$

$\zeta (3)=1.202....(OEISA002117)$

같이 보기

• 수학 상수
• 리만 제타 함수

참고

• 틀:저널 인용
• Steven R. Finch, Mathematical Constants (Encyclopedia of Mathematics and its Applications), Cambridge University Press, 2003