쌍둥이 소수 상수

틀:위키데이터 속성 추적 쌍둥이 소수 상수(틀:Llang) $C_{2}$ 또는 $Π_{2}$ 는 하디-리틀우드(Hardy-Littlewood)추측으로부터의 쌍둥이 소수 추측의 일반화이다.

이것은 소수 정리(prime number theorem)와 유사하게 쌍둥이 소수(twin primes)를 포함하는 소수 자리의 분포에 대한 수학 상수이다.^[1]^[2]

Π_{2} = C_{2} = \prod_{\binom{p p r i m e}{p \geq 3}} (1 - \frac{1}{(p - 1)^{2}}) = 0.660161815 \dots

지수 함수 표현

C_{2} = \prod_{p > 2}^{p = p r i m e} (1 - \frac{1}{(p - 1)^{2}})

= \prod_{p > 2}^{p = p r i m e} (\frac{p^{2} - 2 p}{(p - 1)^{2}})

= e x p (\sum_{p > 2}^{p r i m e = p} l n (\frac{p^{2} - 2 p}{(p - 1)^{2}}))

= e x p (\sum_{p > 2}^{p r i m e = p} l n (\frac{p (p - 2)}{(p - 1)^{2}}))

= e x p (\sum_{p > 2}^{p r i m e = p} l n (\frac{p^{2} (p - 2)}{p (p - 1)^{2}}))

= e x p (\sum_{p > 2}^{p r i m e = p} l n (\frac{\frac{p - 2}{p}}{\frac{(p - 1)^{2}}{(p)^{2}}}))

= e x p (\sum_{p > 2}^{p r i m e = p} l n (\frac{(\frac{p - 2}{p})}{{(\frac{p - 1}{p})}^{2}}))

= e x p (\sum_{p > 2}^{p r i m e = p} l n (\frac{1 - \frac{2}{p}}{{(1 - \frac{1}{p})}^{2}}))

= e x p (\sum_{p > 2}^{p r i m e = p} (l n (1 - \frac{2}{p}) - 2 l n (1 - \frac{1}{p})))

알폰스 드 폴리냑(Alphonse de Polignac)의 폴리냑 추측(Polignac's conjecture)도 쌍둥이 소수에대한 정리에 대해 별도로 기여하였다.

등차수열과오일러 피 함수에서의 엘리엇-할버스탐 추측(Peter D. T. A. Elliott and Heini Halberstam conjecture)도 쌍둥이 소수에대한 정리에 기여하였다.