스티븐스 상수

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틀:위키데이터 속성 추적 스티븐스 상수(Stephens' Constant)에 대한 설명이다.

\prod_{p} (1 - \frac{p}{p^{3} - 1}) = 0.57595996889294543964316337549249669 . . .

스티븐스상수는 소수 및 오일러의 곱셈 공식과 관련하여 소수 분포 밀도에대한 수학 상수이다.

스티븐스(Stephens, P. J.)는 일반화된 리만 가설을 가정하고서, 소수에 대한 집합의 밀도를 표현해 보였다.^[1]

알틴상수와 스티븐스 상수^[2]

C_{S} = \prod_{p} (1 - \frac{p}{p^{3} - 1})

과정:

= \prod_{p} (1 - \frac{p}{((p + 1)^{2} (p - 1)) - p^{2} + p})

= \prod_{p} (\frac{((p + 1)^{2} (p - 1)) - p^{2} + p - p}{((p + 1)^{2} (p - 1)) - p^{2} + p})

= \prod_{p} (\frac{((p + 1)^{2} (p - 1)) - p^{2}}{((p + 1)^{2} (p - 1)) - p^{2} + p})

= \prod_{p} (\frac{p^{3} - p - 1}{p^{3} - 1})

= \prod_{p} (\frac{(p (p^{2} - 1)) - 1}{(p (p^{2} - 1)) + p - 1})

= \prod_{p} (\frac{(p (p^{2} - 1)) - 1}{((p + 1)^{2} (p - 1)) - p^{2} + p})

= \prod_{p} (\frac{(p (p^{2} - 1)) - 1}{((p + 1)^{2} (p - 1)) - p (p - 1)})

= \prod_{p} (\frac{p (p^{2} - 1) - 1}{((p + 1)^{2} - p) (p - 1)})

= \prod_{p} (\frac{p (p^{2} - 1) - 1}{(p - 1)}) (\frac{1}{((p + 1)^{2} - p)})

= \prod_{p} (\frac{p ((p^{2} - 1) - \frac{1}{p})}{(p - 1)}) (\frac{1}{p^{2} + 2 p + 1 - p})

= \prod_{p} (\frac{(p^{2} - 1) - \frac{1}{p}}{(p - 1)}) (\frac{p}{p^{2} + p + 1})

= \prod_{p} (\frac{(p^{2} - 1) - \frac{1}{p}}{(p - 1)}) (\frac{p}{p (p + 1 + \frac{1}{p})})

= \prod_{p} (\frac{(p^{2} - 1) - \frac{1}{p}}{p (p - 1)}) (\frac{p}{(p + 1 + \frac{1}{p})})

= \prod_{p} ((\frac{(p^{2} - 1)}{p (p - 1)}) - (\frac{\frac{1}{p}}{p (p - 1)})) (\frac{p}{(p + 1 + \frac{1}{p})})

= \prod_{p} ((\frac{(p^{2} - 1)}{p (p - 1)}) - (\frac{1}{p^{2} (p - 1)})) (\frac{p}{(p + 1 + \frac{1}{p})})

= \prod_{p} ((\frac{(p^{2} - 1)}{p (p - 1)}) - (\frac{1}{(p - 1)}) + (\frac{p - 1 - p^{2} (p - 1)}{p^{2} (p - 1)^{2}})) (\frac{p}{(p + 1 + \frac{1}{p})})

= \prod_{p} (C_{A} + (\frac{(p - 1) - p^{2} (p - 1)}{p^{2} (p - 1)^{2}})) (\frac{p}{(p + 1 + \frac{1}{p})})

C_{A}

는 알틴 상수

= \prod_{p} (C_{A} + (\frac{1 - p^{2}}{p^{2} (p - 1)})) (\frac{p}{(p + 1 + \frac{1}{p})})

란다우 토션트 상수 및 토션트 상수의 스트븐스 상수 표현

C_{S} = \prod_{p} ((\frac{(p^{2} - 1)}{p (p - 1)}) - (\frac{1}{(p - 1)}) + (\frac{1 - p^{2}}{p^{2} (p - 1)})) (\frac{p}{(p + 1 + \frac{1}{p})})

C_{S} = \prod_{p} (C_{L t} - (\frac{1}{p^{2} - p}) - (\frac{1}{p^{2} - p}) + (\frac{1 - p^{2}}{p^{2} (p - 1)})) (\frac{p}{(p + 1 + \frac{1}{p})})

C_{S} = \prod_{p} (C_{L t} - (\frac{1}{p^{2} - p}) - (\frac{1}{p^{2} - p}) + C_{t} - (\frac{p}{p - 1})) (\frac{p}{(p + 1 + \frac{1}{p})})

C_{L t} =

란다우 토션트 상수

C_{L t} = \prod_{p} (1 + \frac{1}{p (p - 1)})

C_{t} =

토션트 상수

C_{t} = \prod_{p}^{} (1 + \frac{1}{p^{2} (p - 1)})

같이 보기

각주

(Binary strings without zigzags

Emanuele Munarini - Norma Zagaglia Salvi,S´eminaire Lotharingien de Combinatoire 49 (2004), Article B49h)http://www.mat.univie.ac.at/~slc/wpapers/s49zagaglia.pdf (http://www.mat.univie.ac.at/~slc/wpapers/s49zagaglia.html)

(매스월드)http://mathworld.wolfram.com/StephensConstant.html
(OEIS)https://oeis.org/A078079
(OEIS)http://oeis.org/A065478
(OEIS)Sequence in context: A136644 A111963 A206923 * A176982 A079728 A181801
(Stephens' constant)Stephens, P. J. "Prime Divisor of Second-Order Linear Recurrences, I." J. Number Th. 8, 313-332, 1976.

↑ (Stephen 1976)Stephens, P. J. "Prime Divisor of Second-Order Linear Recurrences, I." J. Number Th. 8, 313-332, 1976.
↑ Mathematical Constants (공)저: Steven R. Finch -StephensConstant,with Artin's Constant(2.4)

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