힐베르트 기호

틀:위키데이터 속성 추적 유체론에서 힐베르트 기호(틀:Llang)는 국소체의 0이 아닌 원소에 대하여 정의된 르장드르 기호의 일반화이다. 이를 사용하여, 이차 상호 법칙을 모든 위치에 대칭적인 형태로 적을 수 있는데, 이를 힐베르트 상호 법칙(틀:Llang)이라고 한다.

정의

이차 힐베르트 기호

$𝔭\in \{\mathrm{\infty },2,3,5,7,\dots \}$가 유리수체의 자리라고 하자. 즉,

${\mathbb{Q}}_{𝔭}=\{\begin{array}{cc}ℝ& 𝔭=\mathrm{\infty }\\ {\mathbb{Q}}_p& p=𝔭<\mathrm{\infty }\end{array}$

는 실수체 또는 p진수체이다. 체 $K$의 가역원군을 $K^{\times }=K\setminus \{0\}$라고 하자. 그렇다면, 유리수체의 $𝔭$에서의 힐베르트 기호는 다음과 같은 함수이다.

$\left(\frac{-,-}{𝔭}\right):{\mathbb{Q}}_{𝔭}^{\times }\times {\mathbb{Q}}_{𝔭}^{\times }\to \{-1,+1\}$

$\left(\frac{a,b}{𝔭}\right)=\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{\exists }(x,y,z)\in {\mathbb{Q}}_{𝔭}^3:z^2=a{x}^2+b{y}^2\\ -1& \nexists (x,y,z)\in {\mathbb{Q}}_{𝔭}^3:z^2=a{x}^2+b{y}^2\end{array}$

일반적 힐베르트 기호

위의 힐베르트 기호는 유리수체의 자리에 대한 것이며, 이를 임의의 대수적 수체에 대하여 일반화할 수 있다.

대수적 수체 $K$의 자리 $𝔭$에 대하여, 다음과 같은 함수를 힐베르트 기호라고 한다.틀:Rp틀:Rp

$\left(\frac{-,-}{𝔭}\right):K_{𝔭}^{\times }\times K_{𝔭}^{\times }\to \mu (K^{\times })$

$\left(\frac{a,b}{𝔭}\right)=\frac{(\frac{K_{𝔭}(\sqrt[m]{a})/K_{𝔭}}{b})\sqrt[m]{a}}{\sqrt[m]{a}}$

여기서

• $K_{𝔭}$는 자리 $𝔭$에서의 국소체이다.
• $\mu (K^{\times })\subseteq K$는 $K$에 포함된 1의 거듭제곱근들로 구성된 아벨 군이다.
• $m=|\mu (K)|$는 $K$에 포함된 1의 거듭제곱근의 수이다.
• $(\frac{K_{𝔭}(\sqrt[m]{a})/K_{𝔭}}{b})\in \mathrm{Gal}(K_{𝔭}(\sqrt[m]{a})/K_{𝔭})$는 원분 확대 $K_{𝔭}(\sqrt[m]{a})/K_{𝔭}$에 대한 국소 아르틴 기호이다. 이는 갈루아 군의 원소이므로 원분 확대체의 원소 $\sqrt[m]{a}\in K_{𝔭}(\sqrt[m]{a})$ 위에 작용한다.

사실, 힐베르트 기호는 $m$제곱 잉여류에만 의존한다. 즉, 이는 다음과 같은 함수를 정의한다.

$\left(\frac{-,-}{𝔭}\right):\frac{K_{𝔭}^{\times }}{(K_{𝔭}^{\times }{)}^m}\times \frac{K_{𝔭}^{\times }}{(K_{𝔭}^{\times }{)}^m}\to \mu (K^{\times })$

성질

만약 $𝔭$가 복소수 자리라면 ($K_{𝔭}\cong ℂ$), $K_{𝔭}(\sqrt[m]{a})/K_{𝔭}\cong ℂ/ℂ$는 자명한 확대이므로, 그 갈루아 군 $\mathrm{Gal}(K_{𝔭}(\sqrt[m]{a})/K_{𝔭})=1$은 자명군이며, 따라서 $(\frac{a,b}{𝔭})=1\mathrm{\forall }a,b\in K_{𝔭}\cong ℂ$이다.

임의의 대수적 수체 $K$의 자리 $𝔭$에 대하여, 힐베르트 기호는 다음 성질들을 만족시킨다.틀:Rp틀:Rp

$(a,1-a{)}_{𝔭}=1\mathrm{\forall }a\in K_{𝔭}\setminus \{0,1\}$

$(a,-a{)}_{𝔭}=1\mathrm{\forall }a\in K_{𝔭}^{\times }$

$(a,b{)}_{𝔭}=(b,a{)}_{𝔭}^{-1}\mathrm{\forall }a,b\in K_{𝔭}^{\times }$

$(a,bc{)}_{𝔭}=(a,b{)}_{𝔭}(a,c{)}_{𝔭}\mathrm{\forall }a,b,c\in K_{𝔭}^{\times }$

$(ab,c{)}_{𝔭}=(a,c{)}_{𝔭}(b,c{)}_{𝔭}\mathrm{\forall }a,b,c\in K_{𝔭}^{\times }$

유리수체의 국소 힐베르트 기호

실수체에서는

$\left(\frac{a,b}{\mathrm{\infty }}\right)=\{\begin{array}{cc}+1& \max a,b>0\\ -1& \max a,b<0\end{array}$

이다.

2진수체에서, $a$와 $b$가 정수이고

$a=2^{\alpha }u$

$b=2^{\beta }v$

$2\nmid u,v$

라면,

$\left(\frac{a,b}{2}\right)=(-1{)}^{(u-1)(v-1)/4+\alpha (v^2-1)/8+\beta (u^2-1)/8}$

이다.

홀수 소수 $p$에 대한 $p$진수체에서, $a$와 $b$가 정수이고

$a=p^{\alpha }u$

$b=p^{\beta }v$

$p\nmid u,v$

라면,

$\left(\frac{a,b}{p}\right)=(-1{)}^{\alpha \beta (p-1)/2}{\left(\frac{u}{p}\right)}^{\beta }{\left(\frac{v}{p}\right)}^{\alpha }$

이다. 여기서 $(\frac{a}{b})$는 르장드르 기호이다.

힐베르트 상호 법칙

힐베르트 상호 법칙(Hilbert相互法則, 틀:Llang)에 따르면, 임의의 대수적 수체 $K$의 두 원소 $a,b\in K$에 대하여, $(\frac{a,b}{𝔭})\ne 1$인 자리 $𝔭$의 수는 유한하며, 또한

$\prod _{𝔭}\left(\frac{a,b}{𝔭}\right)=1$

이다.틀:Rp틀:Rp 여기서 $\prod _{𝔭}$는 모든 자리에 대한 곱이다.

힐베르트 상호 법칙은 이차 상호 법칙을 일반화한다. 만약 $a$와 $b$가 서로 다른 양의 홀수 소수라면, 유리수체의 국소 힐베르트 기호들을 계산하면 다음과 같다.

$\left(\frac{a,b}{\mathrm{\infty }}\right)=1$

$\left(\frac{a,b}{2}\right)=(-1{)}^{(a-1)(b-1)/4}$

$\left(\frac{a,b}{p}\right)=1(a\ne p\ne b)$

$\left(\frac{a,b}{a}\right)=\left(\frac{b}{a}\right)$

$\left(\frac{a,b}{b}\right)=\left(\frac{a}{b}\right)$

따라서

$\prod _{𝔭}\left(\frac{a,b}{𝔭}\right)=(-1{)}^{(a-1)(b-1)/4}\left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{b}{a}\right)=1$

이다.

역사

다비트 힐베르트가 1897년에 도입하였다.

같이 보기

• 아즈마야 대수

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드