관계 (수학)

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 관계(關係, 틀:Llang)는 곱집합의 부분 집합이다. 원소의 튜플이 이 부분 집합에 속하는지 여부를 통해 원소들 사이의 관계를 나타낸다.

정의

집합족 ${X_{i}}_{i \in I}$ 위의 관계는 곱집합의 부분 집합

R \subseteq \prod_{i \in I} X_{i}

이다. 특히, 순서수 $α$ 에 대하여, 집합 $X$ 위의 $α$ 항 관계(틀:Llang)는 거듭제곱 집합의 부분 집합

R \subseteq X^{\times α}

이다. 특히 항수에 따라 다음과 같은 특수한 경우들을 생각할 수 있다.

$X$ 위의 영항 관계(零項關係, 틀:Llang) $R \subseteq {∙}$ . 즉, $R = \emptyset$ 또는 $R = {∙}$ .
$X$ 위의 단항 관계(單項關係, 틀:Llang) $R \subseteq X$
$X$ 위의 이항 관계(二項關係, 틀:Llang) $R \subseteq X \times X$ . 이 경우, $(x, y) \in R$ 를 $x R y$ 와 같이 표기하기도 한다.
$X$ 위의 삼항 관계(三項關係, 틀:Llang) $R \subseteq X \times X \times X$ .
$X$ 위의 $n$ 항 관계(-項關係, 틀:Llang) $R \subseteq X^{\times n}$ . 이 경우, $(x_{1}, \dots, x_{n}) \in R$ 를 $R (x_{1}, \dots, x_{n})$ 와 같이 표기하기도 한다.

공선점 관계는 공간 속의 점들에 대한 삼항 관계이다.
여러 가지 이항 관계: 여기서는 집합 $X$ 상의 이항 관계 $R$ 에 관해서 생각하자. $\forall x \in X (x R x)$ 를 반사성(reflexivity)라 한다. $\forall x, y \in X (x R y \to y R x)$ 를 대칭성(symmetricity)라 한다. $\forall x, y \in X (x R y \land y R x \to x = y)$ 를 반대칭성(antisymmetricity), $\forall x, y \in X (x R y \to \neg y R x)$ 를 비대칭성(asymmetricity)이라 한다. $\forall x, y, z \in X (x R y \land y R z \to x R z)$ 를 추이성이라 한다.
반사적, 대칭적, 추이적인 관계를 동치 관계라 한다.
반사적, 반대칭적, 추이적인 관계를 순서 관계라 하고 비대칭적, 추이적인 관계를 강 순서 관계라 한다. 그러면 관계 $<$ 와 관계 $\leq$ 에 대하여 $x \leq y ⟺ x < y \lor x = y$ 가 성립할 때, $<$ 가 강 순서 관계일 조건과 $\leq$ 가 순서 관계일 조건은 서로 필요충분조건이다. 문맥에 따라 강 순서 관계를 그저 순서 관계로 할 수도 있으므로 주의가 필요하다.