5차원 회전군

틀:위키데이터 속성 추적 리 군론에서 5차원 회전군(五次元回轉群, 틀:Llang)은 5차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(5) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 또한 사원수의 2×2 유니터리 군으로도 나타내어질 수 있다.

정의

단순 리 대수의 분류에서, ${𝖡}_2={𝖢}_2$형을 생각하자. 이는 딘킨 도표

$\bullet \Rightarrow \bullet$

에 대응한다. 이에 대응하는 리 군은 B₂(직교군)로, 또는 C₂(심플렉틱 군)로 해석될 수 있다.

이에 대응되는 직교군은 5차원 특수 직교군 $\mathrm{SO}(5;ℝ)$ 및 그 스핀 군 $\mathrm{Spin}(5)$의 2겹 몫군이다. 이 밖에도, 부정 계량 부호수를 준

$\mathrm{SO}(1,4)$ (5차원 로런츠 군)

$\mathrm{SO}(2,3)$

및 이에 대응하는 스핀 군들이 존재한다.

마찬가지로, 이에 대응되는 심플렉틱 군은

$\mathrm{USp}(4;ℝ)=\mathrm{Sp}(2;ℍ)=\mathrm{Sp}(4;ℂ)\cap \mathrm{U}(r)$

이며, 마찬가지로 분할 형태

$\mathrm{Sp}(4;ℝ)=\mathrm{Sp}(4;ℂ)\cap \mathrm{GL}(4;ℝ)$

가 존재한다.

이들은 다음과 같이 대응한다.

킬링 형식의 부호수	기호	직교군 기호	심플렉틱 군 기호	군의 중심	기본군	사타케 도표	보건 도표	비고
(0,10)	B₂, C₂	Spin(5)	$\mathrm{USp}(4)=\mathrm{U}(2;ℍ)$	$\mathrm{Cyc}(2)$	0	$\bullet \Rightarrow \bullet$	$\circ \Rightarrow \circ$	단일 연결 콤팩트 형태
		SO(5)	$\mathrm{PUSp}(4)=\mathrm{PU}(2;ℍ)$	0	$\mathrm{Cyc}(2)$			무중심 콤팩트 형태
(6,4)	B₂Ⅰ, C₂Ⅰ	Spin(2,3)	$\mathrm{Sp}(4;ℝ)$	$\mathrm{Cyc}(2)$	$\mathrm{Cyc}(\mathrm{\infty })$	$\circ \Rightarrow \circ$	$\bullet \Rightarrow \circ$	분할 형태
		SO⁺(2,3)	$\mathrm{PSp}(4;ℝ)$	0	$\mathrm{Cyc}(2)\oplus \mathrm{Cyc}(\mathrm{\infty })$			무중심 분할 형태
(4,6)	B₂Ⅱ, C₂Ⅱ	Spin(1,4)	$\mathrm{USp}(2,2)=\mathrm{U}(1,1;ℍ)$	$\mathrm{Cyc}(2)$	0	$\circ \Rightarrow \bullet$	$\circ \Rightarrow \bullet$
		SO⁺(1,4)	$\mathrm{PUSp}(2,2)=\mathrm{PU}(1,1;ℍ)$	0	$\mathrm{Cyc}(2)$

성질

콤팩트 형태

Spin(5)의 최소 스피너는 복소수 4차원 디랙 스피너이다. 이는 $\mathrm{USp}(4)$ 또는 $\mathrm{U}(2;ℍ)$의 정의(定義) 표현이다.

콤팩트 형태에서, $\mathrm{Spin}(4)=\mathrm{USp}(4)=\mathrm{U}(2;ℍ)$는 2×2 사원수 유니터리 행렬의 군이다. 즉,

$\{M\in \mathrm{GL}(2;ℍ):M^{†}M=1_{2\times 2}\}$

이다. (여기서 $(-{)}^{†}$는 에르미트 수반이다. 즉, 전치 행렬에서, 각 성분에 켤레 사원수를 취한 것이다.)

이것의 군의 중심은 다음과 같다.

$\mathrm{Z}(\mathrm{U}(2;ℍ))=\{\pm 1_{2\times 2}\}$

이것에 대한 몫을 취하면 다음과 같은 특수 직교군을 얻는다.

$\mathrm{SO}(5;ℝ)\cong \frac{\mathrm{U}(2;ℍ)}{\{\pm 1\}}$

$\mathrm{U}(2;ℍ)$의 실수 5차원 표현은 구체적으로 다음과 같다.

$V=\{M\in \mathrm{GL}(2;ℍ):M=M^{†}\}=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ \overline{b}& a\end{array}\right):a\in ℝ,b\in ℍ\}$

$M\cdot v=Mv{M}^{†}(M\in \mathrm{U}(2;ℍ),v\in V)$

분할 형태

Spin(2,3)은 (1,2)차원 민코프스키 공간의 등각군이다. $\mathrm{Spin}(2,3)$의 최소 스피너는 실수 4차원 마요라나 스피너이다. 이는 $\mathrm{Sp}(4;ℝ)$의 4차원 실수 정의(定義) 표현에 해당한다.

이는 심플렉틱 군

$\mathrm{Sp}(4;ℝ)=\{M\in \mathrm{GL}(4;ℝ):M^{\mathrm{\top }}JM=J\}$

$J=\left(\begin{array}{cc}{0}_{2\times 2}& -1_{2\times 2}\\ 1_{2\times 2}& 0_{2\times 2}\end{array}\right)$

에 대응한다. 이 경우, 마찬가지로 군의 중심은 $\{\pm 1_{4\times 4}\}<\mathrm{Sp}(4;ℝ)$에 해당한다.

로런츠 형태

이 경우는 (1,4)차원 민코프스키 공간의 로런츠 군이자 3차원 유클리드 공간의 등각군이다. 이 경우, 최소 스피너는 복소수 4차원의 디랙 스피너이다.

심플렉틱 군으로서, 이는 다음과 같다.

$\mathrm{U}(1,1;ℍ)=\{M\in \mathrm{GL}(2;ℍ):M^{†}\mathrm{\Omega }M=\mathrm{\Omega }\}$

$\mathrm{\Omega }=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

이 경우, 실수 5차원 표현은 다음과 같다.

$V=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& \overline{a}\end{array}\right):a\in ℍ,b\in ℝ\}$

$M\cdot v=Mv\mathrm{\Omega }M{\mathrm{\Omega }}^{-1}(v\in V)$

표현론

이 리 군의 낮은 차원 표현들 및 그 영 타블로는 다음과 같다.

표현	SO(5) 해석	SO(5) 영 타블로	USp(4) 해석	USp(4) 영 타블로
4	스피너	■	벡터	□
5	벡터	□	무대각합 반대칭 2-텐서 (4×3/2! − 1)	□ □
10	반대칭 2-텐서 (5×4/2!)	□ □	대칭 2-텐서 (4×5/2!)	□□
14	무대각합 대칭 2-텐서 (14=5×6/2! − 1)	□□	4-텐서	□□ □□
16	라리타-슈윙거 장 (4×(5−1))	□■	3-텐서	□□ □

즉,

$\mathrm{𝟒}\otimes \mathrm{𝟒}=\mathrm{𝟓}\oplus \mathrm{𝟏}\mathrm{𝟎}\oplus \mathrm{𝟏}$

$\mathrm{𝟓}\otimes \mathrm{𝟓}=\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟒}\oplus \mathrm{𝟏}\mathrm{𝟎}\oplus \mathrm{𝟏}$

$\mathrm{𝟒}\otimes \mathrm{𝟓}=\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟔}\oplus \mathrm{𝟒}$

이다.

같이 보기

• 직교행렬
• 직교군

참고 문헌

• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:웹 인용
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