8차원 회전군

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틀:위키데이터 속성 추적 리 군론에서 8차원 회전군(八次元回轉群, 틀:Llang)은 8차원 유클리드 공간의, 원점을 보존하는 등거리 변환의 군 O(8) 또는 이와 관련된 군들을 말한다. 이는 삼중성(틀:Llang)이라는 특별한 대칭을 갖는다.

정의

8차원 회전군은 8차원 실수 계수 직교군 O⁡(8;ℝ)이다. 그 딘킨 도표는

∙−∙⟨∙∙

이다. 이 그래프는 중심 밖의 꼭짓점의 순열에 대하여 3차 대칭군 Sym⁡(3) 대칭을 갖는데, 이를 삼중성(틀:Llang)이라고 한다. 삼중성을 갖는 연결 딘킨 도표는 이것이 유일하다.

그 복소수 리 대수 𝔬(8;ℂ)은 5개의 실수 형태를 갖는다. 이에 대응하는 리 군들은 다음이 있다.

킬링 형식의 부호수 기호 직교군 기호 사타케 도표 보건 도표 비고
(0,28) Spin(8) ∙−∙⟨∙∙ ∘−∘⟨∘∘ 콤팩트 형태
(7,21) D₄Ⅱ Spin(1,7) ∘−∙⟨∙∙ ∘−∘⟨∘∘}
(12,16) D₄Ⅱ, D₄Ⅲ SO*(8)=SO(2,6) ∘−∘⟨∙∙ ∙−∘⟨∘∘
(15,13) D₄Ⅱ Spin(3,5) ∘−∘⟨∘∘} ∙−∘⟨∘∘}
(16,12) D₄Ⅰ Spin(4,4) ∘−∘⟨∘∘ ∘−∙⟨∘∘ 분할 형태

성질

콤팩트 형태

Spin(8)의 최소 스피너는 8차원 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 이는 8차원 벡터 표현과 같은 크기이며, 삼중성은 이 세 표현 위에 작용한다.

Spin(8)의 군의 중심은 클라인 4원군

Z⁡(Spin⁡(8))≅Cyc⁡(2)⊕Cyc⁡(2)

이며, 이는 유한체 𝔽2 위의 2차원 벡터 공간 𝔽2⊕2의 벡터들의 덧셈군으로 여겨질 수 있다. 이 군의 자기 동형군은

Aut⁡(Z⁡(Spin⁡(8)))≅GL⁡(2;𝔽2)≅Sym⁡(3)

이다. 구체적으로, 𝔽2⊕2는 영벡터가 아닌 세 개의 벡터 (0,1), (1,0), (1,1)을 갖는데, 자기 동형군은 이 위의 순열로서 작용한다.

특수 직교군 SO⁡(8;ℝ)에서, 이 중심군은 Cyc⁡(2)로 깨지며, 이에 따라 삼중성 역시 깨지게 된다. 이는 스피너가 특수 직교군의 표현을 이루지 못함에 대응한다.

물론, 모든 중심을 몫군을 취해 없애 사영 특수 직교군 PSO⁡(8;ℝ)을 취하면, 다시 삼중성이 존재하게 된다. 이는 벡터 표현 또한 사영 특수 직교군의 표현을 이루지 못함에 대응한다.

분할 형태

SO+(4,4)의 군의 중심은 Cyc⁡(2)이며, 위상수학적으로 그 호모토피 유형은 SO⁡(4)×SO⁡(4)이므로, 그 기본군은 Cyc⁡(2)⊕Cyc⁡(2)이다. 다시 말해, SO+(4,4)의 범피복군의 군의 중심은

Cyc⁡(2)⊕Cyc⁡(2)⊕Cyc⁡(2)≅𝔽2⊕3

이다. 그 자기 동형군은 크기 168의 유한 단순군

GL⁡(3;𝔽2)≅PSL⁡(2;𝔽7)

이며, 삼중성은 그 위에 작용한다.

Spin(4,4)의 최소 스피너는 8차원 실수 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너이다. 삼중성은 이 두 스피너와 8차원 벡터 표현 위에 작용한다.

SO(3,5)

Spin(3,5)의 최소 스피너는 복소수 8차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 또는 실수 16차원 마요라나 스피너이다.

SO⁡(3,5)의 범피복군의 군의 중심은 마찬가지로 Cyc⁡(2)⊕Cyc⁡(2)⊕Cyc⁡(2)이다.

SO(2,6) = SO*(8)

실수 리 대수 𝔬(2,6)은 𝔬*(8)과 일치한다. 이에 대응하는 리 군의 최소 스피너는 4차원 왼쪽·오른쪽 바일 스피너이다. 이는 (1,5)차원 민코프스키 공간의 등각군으로 해석될 수 있다.

동형 사상

𝔬(2,6)≅𝔬*(8)

은 6차원 회전군의 동형 사상

𝔰𝔲(1,3)≅𝔬*(6)

을 확장시킨다.

로런츠 형태 SO(1,7)

실수 리 대수 𝔬(1,7)은 실수 16차원 마요라나 스피너 및 복소수 8차원 바일 스피너를 갖는다. 이는 6차원 유클리드 공간의 등각군으로 해석될 수 있다.

같이 보기

참고 문헌

외부 링크

틀:전거 통제

원본 주소 "https://ko.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=8차원_회전군&oldid=5817"