리 군 위의 입자

틀:위키데이터 속성 추적 물리학에서 리 군 위의 입자(틀:Llang)는 리 군의 구조를 가진 공간 속에서 움직이는 입자를 나타내는 물리학 모형이다.틀:Rp 고전적으로 그 해(리 군의 측지선)는 간단하게 표현될 수 있으며, 대칭으로 인하여 쉽게 양자화될 수 있다.

정의

콤팩트 연결 리 군 $G$가 주어졌다고 하자. $G$의 리 대수 $𝔩𝔦𝔢(G)$ 위의 양의 정부호 2차 대칭 불변 다항식

$g(t,t^{\prime })=g_{ab}{t}^a{t^{\prime }}^b(t,t^{\prime }\in 𝔩𝔦𝔢(G))$

은 $G$ 위의 리만 계량을 정의하며, 이는 $G$의 왼쪽 · 오른쪽 작용에 대하여 불변이다. 즉, 군의 준동형

$G\times G\to \mathrm{Isom}(G,g)$

이 존재한다 ($\mathrm{Isom}(-)$은 전단사 등거리 변환의 군).

이 경우, 라그랑지언

$L(g,\dot{g})=-\frac{1}{2}\mathrm{tr}{\left(g^{-1}\dot{g}\right)}^2$

을 정의할 수 있다. (편의상, 입자의 질량을 리만 계량 속에 흡수하였다.) 그 변분은

$\delta \mathrm{tr}{\left(g^{-1}\dot{g}\right)}^2=-2\mathrm{tr}(g^{-1}\delta g\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(g^{-1}\dot{g}))$

이다.

유도:

우선,

$0=\delta 1=\delta (g^{-1}g)=\delta (g^{-1})g+g^{-1}\delta g$

이므로,

$\delta (g^{-1})=-g^{-1}\delta g{g}^{-1}$

이며,

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{g}^{-1}=-g^{-1}\dot{g}{g}^{-1}$

이다. 따라서, 대각합의 순환성 및 부분 적분을 사용하여, 다음과 같이 계산할 수 있다.

$\begin{array}{cc}\delta \mathrm{tr}(g^{-1}\dot{g}{)}^2& =2\mathrm{tr}(g^{-1}\dot{g}\delta (g^{-1}\dot{g}))\\ & =2\mathrm{tr}(g^{-1}\dot{g}\delta (g^{-1})\dot{g}+g^{-1}\dot{g}{g}^{-1}\delta \dot{g})\\ & =-2\mathrm{tr}\left(g^{-1}\dot{g}{g}^{-1}\delta g{g}^{-1}\dot{g}\right)-2\mathrm{tr}(\delta g\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(g^{-1}\dot{g}{g}^{-1}))+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathrm{tr}(g^{-1}\dot{g}{g}^{-1}\delta g)\\ & =2\mathrm{tr}\left(\delta g{g}^{-1}\dot{g}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{g}^{-1}\right)-2\mathrm{tr}(\delta g\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(g^{-1}\dot{g}{g}^{-1}))+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathrm{tr}(g^{-1}\dot{g}{g}^{-1}\delta g)\\ & =-2\mathrm{tr}(\delta g\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(g^{-1}\dot{g})g^{-1}))+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathrm{tr}(g^{-1}\dot{g}{g}^{-1}\delta g)\\ & =-2\mathrm{tr}(g^{-1}\delta g\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(g^{-1}\dot{g})))+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mathrm{tr}(g^{-1}\dot{g}{g}^{-1}\delta g)\end{array}$

이다. 여기서 둘째 항은 완전 적분이므로 오일러-라그랑주 방정식을 구할 때 무시할 수 있다.

오일러-라그랑주 방정식(측지선 방정식)은

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(g^{-1}\dot{g}\right)=0$

이다. 그 해는 항상 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.

$g(t)=g_{\mathrm{L}}\exp (t\lambda )g_{\mathrm{R}}^{-1}$

여기서

• $g_{\mathrm{L}},g_{\mathrm{R}}\in G$는 상수이다. 특히, $g(0)=g_{\mathrm{L}}{g}_{\mathrm{R}}^{-1}$는 초기 조건이다.
• $𝔥\subseteq 𝔩𝔦𝔢(G)$는 $G$의 리 대수의 카르탕 부분 대수이다.
• $\lambda \in 𝔥$는 카르탕 부분 대수의 임의의 원소이다.

이에 따라, $(g_{\mathrm{L}},g_{\mathrm{R}},\lambda )$를 위상 공간의 좌표계로 여길 수 있다. 그러나 위상 공간은 $2\dim G$차원이므로 (측지선은 초기 위치와 초기 속력으로 완전히 결정되므로), $2\dim G+\mathrm{rank}G$개의 성분을 갖는 $(g_{\mathrm{L}},g_{\mathrm{R}},\lambda )$ 좌표계는 $\mathrm{rank}G$차원의 게이지 변환을 갖는다. 구체적으로, 이 게이지 군은 $G$의 극대 원환면 $\exp (𝔥)\le G$이며, 이에 따라 좌표는 다음과 같이 변환한다.

$g_{\mathrm{L}}\mapsto g_{\mathrm{L}}h$

$g_{\mathrm{R}}\mapsto \exp (t\alpha )h$

$\lambda \mapsto \lambda$

$h\in \exp (𝔥)\le G$

게이지 변환을 도입하면, 계의 $G\times G$ 대칭이

$(h_{\mathrm{L}},h_{\mathrm{R}})\cdot (g_{\mathrm{L}},g_{\mathrm{R}},\lambda )=(h_{\mathrm{L}}{g}_{\mathrm{L}},g_{\mathrm{R}}{h}_{\mathrm{R}}^{-1},\lambda )$

와 같이 분해된다.

해밀턴 역학

위상 공간은 리 군의 공변접다발 ${\mathrm{T}}^{*}G$이며, 그 위에는 표준적인 심플렉틱 형식이 존재한다. 이 위의 심플렉틱 형식은 $(g_{\mathrm{L}},g_{\mathrm{R}},\lambda )$ 좌표계에서 다음과 같은 꼴로 두 성분으로 분해된다.

$\omega (\lambda ,g_{\mathrm{L}},g_{\mathrm{R}})={\omega }_{\mathrm{L}}(\lambda ,g_{\mathrm{L}})+{\omega }_{\mathrm{R}}(\lambda ,g_{\mathrm{R}})$

양자화

콤팩트 연결 리 군 $G$ 위의 입자의 힐베르트 공간은 $G$ 위의 복소수 2차 르베그 공간

${\mathrm{L}}^2(G;ℂ)$

이다. 이 경우 사용한 측도는 하르 측도이다. (콤팩트 리 군의 경우 왼쪽 하르 측도와 오른쪽 하르 측도가 일치한다.) 이 위에는 $G\times G$의 왼쪽 군 작용이 다음과 같이 존재한다.

$G\times G\times {\mathrm{L}}^2(G;ℂ)\to {\mathrm{L}}^2(G;ℂ)$

$((g_{\mathrm{L}},g_{\mathrm{R}})\cdot \varphi )(x)=\varphi (g_{\mathrm{L}}^{-1}x{g}_{\mathrm{R}})$

이에 따라서, ${\mathrm{L}}^2(G;ℂ)$는 $G\times G$의 표현들로 분해된다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.

${\mathrm{L}}^2(G;ℂ)={\widehat{⨁}}_{R\in \mathrm{IrRep}(G)}{V}_R\otimes V_{\overline{R}}$

$(g_{\mathrm{L}},g_{\mathrm{R}})\cdot (v\otimes \overline{v})=(g_{\mathrm{L}}\cdot v)\otimes (g_{\mathrm{R}}\cdot v)(v\in V_R,\overline{v}\in V_{\overline{R}})$

여기서

• $\mathrm{IrRep}(R)$는 $G$의 모든 복소수 기약 표현들의 동형류들의 가산 집합이다.
• $\widehat{⨁}$는 가산 무한 개의 유한 차원 내적 공간들의 직합으로 구성되는 분해 가능 힐베르트 공간이다.
• $V_R$는 기약 표현 $R:G\to \mathrm{U}(V_R)$의 표현 공간인 유한 차원 복소수 벡터 공간이다.
• $\overline{R}$는 기약 표현 $R$의 켤레 표현이다.

해밀토니언

$G\times G$의 무한소 작용을 나타내는 연산자

$⟨g|J_{\mathrm{L}}(t^a)|\varphi ⟩={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}ϵ}|}_{ϵ=0}\varphi (\exp (-ϵt^a)g)⟩$

$⟨g|J_{\mathrm{R}}(t^a)|\varphi ⟩={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}ϵ}|}_{ϵ=0}\varphi (g\exp (ϵt^a))⟩$

를 생각하자. 그렇다면,

$\frac{1}{2}H={\mathrm{\Delta }}_g=g_{ab}J(t^a)(J^b)=g_{ab}{\tilde{J}}^a{\tilde{J}}^b$

는 $G$ 위의 (양의 고윳값) 라플라스-벨트라미 연산자이다.

이 해밀토니언은 기약 표현에 대한 분해에 대하여 대각형이다. 구체적으로, $V_R\otimes V_{\overline{R}}$ 위에서, 해밀토니언의 고윳값 $E_R$은

$g_{ab}R(t^a)R(t^b)=2E_R{1}_{V_R}{g}_{ab}{t}^a{t}^b$

로 주어진다.

양자 모형과 고전 모형 사이의 관계

양자 모형과 고전 모형 사이의 관계는 파인먼-카츠 공식으로 주어진다. 즉, 해밀토니언 $H$의 핵(즉, $G$ 위의 열핵)은 다음과 같이 주어진다.

$\frac{1}{\mathrm{vol}G}\sum _{R\in \mathrm{IrRep}(G)}(\dim V_R)\exp (-\beta E_R){\mathrm{tr}}_{V_R}(g_0{g}_1^{-1})=K(g_0,g_1;\beta )=\underset{g\in \mathrm{W}(g_0,g_1)}{\int }\exp (-S[g])\mathrm{D}g$

여기서

• $\mathrm{W}(g_0,g_1)$은 $g(0)=g_0$, $g_{\beta }=g_{\beta }$인 연속 함수 $g:[0,\beta ]\to G$로 구성된 위너 공간이다.
• $\mathrm{D}g$는 이 위너 공간 위의 확률 측도이다.
• $S[g]=\frac{1}{2}{\int }_0^{\beta }⟨g^{-1}\dot{g},g^{-1}\dot{g}⟩\mathrm{d}t$는 고전 모형의 작용이다.
• ${\mathrm{tr}}_R(-)$는 표현 $R$의 지표이다.

특히, $\beta \to 0$ 극한에서 이는 디랙 델타가 된다.

예

원군

$G=\mathrm{U}(1)$인 경우(원군)를 생각하자. 이 경우 고전적으로 모든 상수 속도 곡선이 측지선이다. 양자 모형에서, 힐베르트 공간은

$\mathscr{H}={\mathrm{L}}^2(\mathrm{U}(1);ℂ)$

이다. $\mathrm{U}(1)=ℝ/(2\pi \mathbb{Z})$로 좌표 $\theta$를 주었을 때, 이는 정규 직교 기저

$|n⟩=\exp (\mathrm{i}n\theta )(n\in \mathbb{Z})$

를 갖는다.

원군의 기약 표현은 (아벨 군이므로) 모두 1차원이며,

$R_n:\mathrm{U}(1)\to \mathrm{GL}(1;ℂ)={ℂ}^{\times }$

$R_n:\theta \mapsto \exp (\mathrm{i}\theta )$

이다. 즉, 그 기약 표현들의 집합은 정수의 집합과 표준적으로 일대일 대응된다.

$\mathrm{IrRep}(\mathrm{U}(1))\cong \mathbb{Z}$

힐베르트 공간의 분해

$H={\widehat{⨁}}_{n\in \mathbb{Z}}ℂ\otimes ℂ=\sum _{n\in \mathbb{Z}}ℂ|n⟩$

는 $H$의 정규 직교 기저 $|n⟩$에 대한 분해이다.

해밀토니언

$H=-\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{\theta }^2}$

에 대하여, 각 정규 직교 기저의 고윳값은

$H|n⟩=n^2|n⟩$

이다. 그 위의 열핵은

$K({\theta }_0,{\theta }_1;\beta )=\frac{1}{2\pi }\sum _{n\in \mathbb{Z}}\exp (-\beta n^2)\exp (\mathrm{i}n({\theta }_1-{\theta }_0))=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{\theta :[0,\beta ]\to \mathrm{U}(1)}{\theta (0)={\theta }_0,\theta (\beta )={\theta }_1}}{\int }\exp (-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{\dot{g}}^2)\mathrm{D}g$

이며, 사실

$\frac{1}{2\pi }\sum _{n\in \mathbb{Z}}\exp (-n^2\beta )\exp (\mathrm{i}n\theta )=\frac{1}{\sqrt{4\pi \beta }}\sum _{n\in \mathbb{Z}}\exp \frac{(\theta -2n\pi {)}^2}{4\beta }$

이다.

3차원 초구

$G=\mathrm{SU}(2)\cong {𝕊}^3$인 경우(3차원 초구)를 생각하자. 이 경우, 측지선은 대원이다. 양자 모형에서, 힐베르트 공간은

$\mathscr{H}={\mathrm{L}}^2(\mathrm{SU}(2);ℂ)$

이다. $\mathrm{SU}(2)$의 기약 표현은 스핀 $j\in \{0,1/2,1,3/2,2,,\cdots \}=\mathrm{IrRep}(\mathrm{SU}(2))$에 의하여 결정된다. 힐베르트 공간의 분해는

$\mathscr{H}={\widehat{⨁}}_j{ℂ}^{2j+1}\otimes {ℂ}^{2j+1}$

이다. $2j+1$차원 기약 표현에서, 해밀토니언 연산자의 고윳값은 (적절한 비례 상수에 대하여)

$E_j=j(j+1)$

이다.

외부 링크

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