열핵

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 해석학에서 열핵(熱核, 틀:Llang)은 열 방정식의 그린 함수이다. 해석학에서 함수를 매끄럽게 만들기 위해 쓰인다.

정의

일반화 라플라스 연산자

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• $n$차원 리만 다양체 $(M,g)$
• 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$

$E$ 위의 라플라스형 연산자는 (임의의 국소 좌표계에서) 다음과 같은 꼴의, $E$ 위의 2차 미분 연산자이다.틀:Rp

$H:{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)\to {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)$

$H=g^{ij}(x){\partial }_i{\partial }_j+A^i(x){\partial }_i+B(x)(A^i\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E\otimes \mathrm{T}M),B\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E))$

여기서 ${\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}$는 매끄러운 단면의 공간을 뜻한다. 마찬가지로, 연속 단면을 ${\mathrm{\Gamma }}^0$로 표기하자.

다시 말해, 라플라스형 연산자는 어떤 임의의 리만 계량 $g$와 코쥘 접속 $\mathrm{\nabla }$ 및 매끄러운 단면 $T\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E\otimes E^{*})$에 대하여

$Hs=g^{ij}{\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_{j}s+Ts$

의 꼴로 나타내어지는 미분 연산자이다.

열핵

이제, $|\mathrm{\Lambda }(M){|}^{1/2}$가 $M$ 위의, 무게 $n/2$의 밀도 다발이라고 하자. (이는 $M$의 방향과 관계없이 정의된다.) 그렇다면, ${ℝ}^{+}\times M\times M$ 위에 다음과 같은, $(\dim E{)}^2$차원 벡터 다발을 생각하자.

$F=(E{\otimes }_{ℝ}|\mathrm{\Lambda }(M){|}^{1/2})⊠(E^{*}{\otimes }_{ℝ}|\mathrm{\Lambda }(M){|}^{1/2})$

$M$이 콤팩트 공간일 경우, $H$의 열핵

$K(t,x,y)\in {\mathrm{\Gamma }}^0(F)$

은 다음 조건들을 만족시키는, $F$의 (연속) 단면이다.

• $t$에 대하여 ${𝒞}^1$ 함수이다. 즉, $\partial K(t,x,y)/\partial t$가 존재하며, 연속 함수 ${ℝ}^{+}\times M\times M\to F$를 이룬다.
• $x$에 대하여 ${𝒞}^2$ 함수이다. 즉, ${\partial }^{2}K(t,x,y)/\partial x^i\partial x^j$가 연속적으로 존재한다.
• 열 방정식이 성립한다. 즉, 다음이 성립한다.

  $(\frac{\partial }{\partial t}-H)K(t,x,y)=0$

• (초기 조건) 다음과 같은 경계 조건이 성립한다. 임의의 $s\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(ℰ{\otimes }_{ℝ}|\mathrm{\Lambda }(M){|}^{1/2})$에 대하여,

  $\underset{t\to 0}{\lim }\int K(t,x,y)s(y)\mathrm{d}y=s(x)$

여기서 극한은 $M$ 위의 균등 노름에 대한 것이다.

만약 $M$이 콤팩트 공간이 아니라면, 적절한 경계 조건을 주어야 한다.

경계다양체 위의 열핵

만약 $M$이 리만 계량이 주어진 콤팩트 매끄러운 경계다양체라고 하고, $E$가 그 위의 매끄러운 벡터 다발이라고 하자. 또한, 마찬가지로 $E$ 위의 라플라스형 연산자가 주어졌다고 하자.

이 경우, 열핵을 정의하기 위해서는 경계 조건을 주어져야 한다. 구체적으로, 경계에서의 수직 단위 벡터를 $n$이라고 하자. 그렇다면, 단면 $s\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(E)$ 위에 다음과 같은 꼴의 디리클레 경계 조건을 생각할 수 있다.

$s\upharpoonright \partial M=s_0$

또는 다음과 같은 일반화 노이만 경계 조건을 생각할 수 있다.

$({\mathrm{\nabla }}_{X}s)\upharpoonright \partial M+A(s\upharpoonright \partial M)=s_0$

여기서

$A\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(\partial M,\mathrm{End}E)$

이다.

이와 같은 경계 조건을 부여하면, 마찬가지로 열핵을 (유일하게) 정의할 수 있다.

성질

존재 조건

만약 $M$이 콤팩트 리만 다양체라면, 그 위의 임의의 라플라스형 연산자는 열핵을 가지며, 이는 유일하다.

적분

콤팩트 리만 다양체 $M$ 위의 실수 값 매끄러운 함수에 대한, 다음과 같은 꼴의 라플라스형 연산자를 생각하자.

$Hf=\mathrm{\Delta }f+{\mathrm{\nabla }}_{X}f+C$

여기서 $X\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{T}M)$는 $M$ 위의 임의의 벡터장이며, $C\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,ℝ)$는 임의의 스칼라장이다.

이 경우, 열핵의 적분은 부분 적분을 통해 다음 성질을 만족시킨다.

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{M}{\int }K(t,x,y)\mathrm{d}x=\underset{M}{\int }HK(t,x,y)\mathrm{d}x=\underset{M}{\int }(\mathrm{\Delta }+{\mathrm{\nabla }}_X+C)K(t,x,y)\mathrm{d}x=C(y)\underset{M}{\int }K(t,x,y)\mathrm{d}x$

즉,

$F(t,y)=\underset{M}{\int }K(t,x,y)\mathrm{d}x$

로 놓으면 다음이 성립한다.

$F(t_0+s,y)=\exp (C(y)s)F(t_0,y)$

특히, 만약 $C=0$이라고 하면, $F(t,y)$는 $t$에 의존하지 않으며, 이 경우 $t\to 0$에서의 경계 조건에 의하여 상수 함수

$F(t,y)=1$

가 된다.

반군 성질

콤팩트 리만 다양체 $M$ 위의 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$ 위의 라플라스형 연산자 $H$의 열핵 $K(t,x,y)$가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 다음이 성립한다.

$K(t+t^{\prime },x,y)=\underset{M}{\int }K(t,x,z)K(t^{\prime },z,y)\mathrm{d}z$

즉, 이는 반군 준동형

$K:({ℝ}^{+},+)\to (E\otimes |\mathrm{\Lambda }M{|}^{1/2})⊠(E^{*}\otimes |\mathrm{\Lambda }M{|}^{1/2})$

$K:t\mapsto K(t,-,-)$

을 정의한다. (여기서 $({ℝ}^{+},+)$는 양의 실수들의 덧셈 반군이다. 이는 항등원 0을 갖지 않으므로 모노이드가 아니다.) 이를 열핵의 반군 성질(半群性質, 틀:Llang)이라고 한다.

이를 사용하여 열핵의 다양한 성질들을 증명할 수 있다. 예를 들어, $E=M\times ℝ$가 자명한 선다발이라고 하고, 라플라스형 연산자가 상수항을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 시각 $t_0\in {ℝ}^{+}$에서, 콤팩트 공간 $M\times M$ 위의 실수 값 연속 함수 $K(t_0,-,-)$는 최댓값

$\underset{(x,y)\in M^2}{\max }K(t_0,x,x)=C_{t_0}$

을 갖는다. 그렇다면, $t_0$ 초과의 임의의 시각 $t\in {ℝ}^{+}$, $t>t_0$에서,

$K(t,x,y)=\underset{M}{\int }K(t_0,x,z)K(t-t_0,z,y)\mathrm{d}z\le C_{t_0}\underset{M}{\int }K(t-t_0,z,y)\mathrm{d}z=C_{t_0}$

이다. 따라서, 함수

$C:{ℝ}^{+}\to {ℝ}^{+}$

$C:t\mapsto \underset{(x,y)\in M^2}{\max }K(t,x,y)$

는 항상 감소 함수이다.

점근적 전개

콤팩트 $n$차원 리만 다양체 $M$ 위의 매끄러운 벡터 다발 $E$ 위의 라플라스형 연산자 $H$가 주어졌을 때, 그 열핵 $K_H$는 다음과 같은 꼴로 전개된다.틀:Rp틀:Rp

$K_H(t,x,y)=\frac{1}{(4\pi t{)}^{n/2}}\exp (-d(x,y)/4t)\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{t}^i{f}_i(x,y)$

여기서

$f_i\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}((E\otimes \sqrt{|\mathrm{\Lambda }M|})⊠(E^{*}\otimes \sqrt{|\mathrm{\Lambda }M|}))$

이다.

약간 다르게, 다음과 같은 전개를 사용할 수도 있다. 임의의 $f\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{End}(E))$에 대하여,틀:Rp

$\mathrm{tr}(f\exp (-tH))=\sum _{i\in 2\mathbb{N}}{t}^{(i-n)/2}{a}_i(f,H)$

위 합에서는 오직 짝수 $i$만이 등장한다.틀:Rp 만약 $M$이 콤팩트 경계다양체인 경우, (적절한 경계 조건 아래) 홀수 $i$ 역시 등장할 수 있다.

고윳값

$M$ 위의 라플라스형 연산자 $H=g^{ij}{\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_j+T$가 주어졌다고 하자. 만약 $M$이 콤팩트 다양체이며, $T$가 에르미트 작용소라고 하자. 그렇다면, $H$를 복소수 힐베르트 공간

$\mathscr{H}={\mathrm{L}}^2(M;E{\otimes }_{ℝ}ℂ)$

에 확장시킬 수 있으며, 스펙트럼 정리에 의하여 그 실수 고윳값들이 존재한다. 또한, 만약 $T$의 고윳값들이 추가로 모두 양이 아닌 실수라면, 이 고윳값들은 0을 제외하고 모두 음의 실수이다.

$0={\lambda }_0<-{\lambda }_1\le -{\lambda }_2\le -{\lambda }_3\le \cdots$

이에 대응하는, 복소수 힐베르트 공간 ${\mathrm{L}}^2(M;E{\otimes }_{ℝ}ℂ)$의 정규 직교 기저를 ${\varphi }_i$라고 하면, 열핵은 다음과 같은 점근적 급수로 주어진다.

$K(t,x,y)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\exp (-{\lambda }_i){\varphi }_i(x){\varphi }_i(y)$

그러나 이 급수가 수렴하는지 여부는 일반적으로 복잡하다.

예

유클리드 공간

유클리드 공간 ${ℝ}^n$ 위의 실수 값 매끄러운 함수에 대한 라플라스형 연산자

$H=\mathrm{\Delta }+C$

의 열핵은 다음과 같다.틀:Rp

$K(t,x,y)=\frac{1}{(4\pi t{)}^{n/2}}\exp (tC-\Vert x-y{\Vert }^2/4t)$

대칭 공간

이 밖에도, 일부 리 군 또는 대칭 공간 위의 경우 열핵의 급수 표현이 알려져 있다. 예를 들어, 구 ${𝕊}^2=\mathrm{SU}(2)/\mathrm{U}(1)$ 위의 (표준적) 라플라스 연산자의 경우, 열핵은 다음과 같다.틀:Rp

$K(t,g\mathrm{U}(1),1_{\mathrm{SU}(2)}\mathrm{U}(1))=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(2n+1)\exp (-n(n+1)t/2){\mathrm{P}}_n(\frac{{(\mathrm{tr}g)}^2+{(\mathrm{tr}(\mathrm{i}{\sigma }_{3}g))}^2}{2}-1)(t\in {ℝ}^{+},g\in \mathrm{SU}(2))$

여기서

$\mathrm{i}{\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}& 0\\ 0& -\mathrm{i}\end{array}\right)\in \mathrm{SU}(2)$

는 파울리 행렬이며, ${\mathrm{P}}_n(-)$는 르장드르 다항식이다.

멜러 핵

실수선 $ℝ$ 위의 다음과 같은 라플라스형 연산자를 생각하자.

$H=\frac{1}{2m}\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}-\frac{1}{2}m{x}^2-E$

이는 무게 $m$의 조화 진동자의 해밀토니언 연산자이다. $H$의 열핵은 다음과 같다.

$K(t,x,y)=\sqrt{\frac{m}{2\pi \sinh t}}\exp (-\frac{m(x^2+y^2)}{2\tanh t}+\frac{mxy}{\sinh (mxy)}-Et)$

이를 멜러 핵(Mehler核, 틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

역사

멜러 핵은 구스타프 페르디난트 멜러(틀:Llang, 1835~1895)가 도입하였다.틀:Rp

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
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