파인먼-카츠 공식

틀:위키데이터 속성 추적 확률론에서 파인먼-카츠 공식(Feynman-Kac公式, 틀:Llang)은 확률 미분 방정식과 편미분 방정식이 어떤 관계를 맺고 있는지를 나타낸 공식이다. 이 공식을 통해 특정 확률 미분 방정식을 만족시키는 확률 과정을 찾기 위해서 어떤 편미분 방정식을 풀어야 하는지를 알 수 있으며, 따라서 이 공식은 금융공학에서 어떤 자산이 이토 확률 과정을 따르는 것으로 가정했을 때 이 자산을 기초자산으로 하는 파생상품의 가격을 어떻게 구해야 하는지에 대한 해답을 찾기 위한 도구로 유용하게 쓰이고 있다.

파인먼-카츠 공식의 기본적인 근거는 어떤 함수 $g(x,t)$가 마팅게일일 경우 미분 계수 $\mathrm{d}g(x,t)$에서 시간 $t$에 대한 변화율을 나타내는 항인 $\mathrm{d}t$가 반드시 0이라는 데 있다. 따라서 만약 $\mathrm{d}g/\mathrm{d}t$를 0으로 만들 수 있는 편미분 방정식을 찾을 수 있다면 이를 풀이함으로써 $g$를 발견할 수 있다는 것이 파인먼-카츠 공식의 핵심적인 내용이다. 이 공식은 초기 조건 $X(t)=x$가 주어진 이토 확률 과정 $X(u)$에 대한 보렐 가측 함수 $f(X(u))$가 시점 $T$에 갖는 값에 대한 시점 $t$의 기댓값 $g(X(t),t)$가 마팅게일임을 이용하여 $g$를 찾아내기 위해서 풀어야 할 편미분 방정식과 풀이에 필요한 최종 조건을 밝혀낸다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 확률 공간 $\mathrm{\Omega }$
• 유클리드 공간 ${ℝ}^n$. 그 벡터 지표를 $(-{)}^i$로 나타내자 ($i\in \{1,2,\dots ,n\}$).
• $\mathrm{\Omega }$ 위의 위너 확률 과정 $W^j:\mathrm{\Omega }\times [0,T]\to {ℝ}^n$
• $W$에 대한 이토 확률 과정 $\mathrm{d}{X}^i(t)={\mu }^i(X(t),t)\mathrm{d}t+{\sigma }^i{}_j(X(t),t)\mathrm{d}{W}^j(t)$
• 보렐 가측 함수 $f:{ℝ}^n\to ℝ$
• 보렐 가측 함수 $h:{ℝ}^n\times [0,T]\to ℝ$
• 보렐 가측 함수 $V:{ℝ}^n\times [0,T]\to ℝ$. 이는 퍼텐셜에 해당한다.

이제, 다음과 같은 확률 과정을 정의하자.

$G:\mathrm{\Omega }\times [0,T]\to ℝ$

$G(t)=f(X(T))\exp (-\underset{t}{\overset{T}{\int }}V(X(s),s)\mathrm{d}s)+\underset{t}{\overset{T}{\int }}\mathrm{d}sh(X(s),s)\exp (-\underset{t}{\overset{s}{\int }}\mathrm{d}rV(X(r),r))$

특히,

$G(T)=f(X(T))$

이다.

이제, 그 조건부 기댓값을 정의하자.

$g(x,t)=𝔼[G(t)|X(t)=x]$

이 함수가 유계 함수라고 하자. 특히,

$g(x,T)=𝔼[f(X(T))|X(T)=x]=f(x)$

이다.

그렇다면, 이는 다음 2차 선형 비동차 편미분 방정식을 만족시킨다.

$(\frac{\partial }{\partial t}+\sum _j{\mu }^j(x,t)\frac{\partial }{\partial x^j}+\frac{1}{2}\sum _{i,j,k}{\sigma }^i{}_k(x,t){\sigma }^j{}_k(x,t)\frac{{\partial }^2}{\partial x^i\partial x^j}-V(x,t))g(x,t)+h(x,t)=0$

아인슈타인 표기법으로 합 기호를 생략하면, 이는 다음과 같다.

$(\frac{\partial }{\partial t}+{\mu }^j(x,t){\partial }_j+\frac{1}{2}{\delta }^{kl}{\sigma }^i{}_k(x,t){\sigma }^j{}_l(x,t){\partial }_i{\partial }_j-V(x,t))g(x,t)+h(x,t)=0$

특히, 만약 $h=V=0$인 경우 $G$는 시간에 의존하지 않는 확률 과정, 즉 확률 변수가 된다.

$G_t=f(X(T))$

이 경우

$g(x,t)=𝔼[f(X(T))|X(t)=x]$

이다.

리만 다양체의 경우

리만 다양체의 경우, 다음과 같은 파인먼-카츠 공식이 존재한다. 다음이 주어졌다고 하자.

• $n$차원 연결 리만 다양체 $(M,g)$. 그 벡터 지표를 $(-{)}^i$로 나타내자 ($i\in \{1,2,\dots ,n\}$)
• 점 $x_0\in M$ (초기 조건)
• 양의 실수 $T>0$ (최종 시각)

그렇다면, 초기 조건이 $x_0$인 연속 함수로 구성된 바나흐 공간

${𝒞}_{x_0}^0([0,T],M)=\{f\in {𝒞}_0^0([0,T],M):f(0)=x_0\}$

을 생각하자. 그 속에 소볼레프 공간인 캐머런-마틴 공간

${\mathrm{W}}_{x_0}^{1,2}([0,T],M,g)=\{f\in {𝒞}_{x_0}^0([0,T],M):\underset{0}{\overset{T}{\int }}{g}_{f(t)}(\dot{f}(t),\dot{f}(t))\mathrm{d}t<\mathrm{\infty }\}$

을 부여하면, 이는 위너 공간을 이룬다. 즉, ${𝒞}_{x_0}^0([0,T],M)$ 위에, 열핵으로 유도되는 위너 확률 측도 $\mathrm{d}{W}_{x_0}$가 존재한다.

또한, 임의의 $x_T\in M$ (최종 조건)에 대하여, 마찬가지로

${𝒞}_{x_0,x_T}^0([0,T],M)=\{f\in {𝒞}_0^0([0,T],M):f(0)=x_0,f(T)=x_T\}$

를 생각하자. 이 경우도 마찬가지로 캐머런-마틴 공간

${\mathrm{W}}_{x_0,x_T}^{1,2}([0,T],M,g)={\mathrm{W}}_{x_0}^{1,2}([0,T],M,g)\cap {\mathrm{C}}^0{x}_0,x_T([0,T],M)$

을 통하여 위너 공간을 이루며, 이는 ${𝒞}_{x_0}^0([0,T],M)$ 위의 확률 측도의 조건부 확률이다.

이제, 다음이 주어졌다고 하자.

• $V\in {\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}(M;ℝ)$ (퍼텐셜 함수)
• ${\psi }_0\in {\mathrm{L}}^2(M;ℝ)$ (초기 조건)

그렇다면, 실수 힐베르트 공간

$\mathscr{H}={\mathrm{L}}^2(M;ℝ)$

위에 자기 수반 작용소인 해밀토니언 연산자

$H=\mathrm{\nabla }+V=-g^{ij}{\mathrm{\nabla }}_i{\mathrm{\nabla }}_j+V$

를 정의할 수 있다. (라플라스-벨트라미 연산자 $\mathrm{\nabla }$는 음이 아닌 스펙트럼을 가지므로, $\mathscr{H}$ 전체로 유일한 프리드릭스 확장(틀:Llang)을 갖는다.)

이제, 이에 대한 열 방정식

${\partial }_t\psi (t,x)=-H\psi (t,x)$

$\psi (0,x)={\psi }_0(x)$

을 생각할 수 있다. (해석학적 이유로 인하여, 복소수 힐베르트 공간 대신 실수 힐베르트 공간, 슈뢰딩거 방정식 대신 열 방정식을 사용하였다. 물리학에서 이는 시간의 윅 회전에 해당한다.) 힐베르트 공간의 이론으로 인하여, 이는 항상 유일한 해

$\psi (t,x)=\exp (-tH){\psi }_0(x)$

를 갖는다. 브라-켓 표기법으로 이는

$|\psi ⟩(t)=\exp (-tH)|{\psi }_0⟩$

$⟨x|\psi ⟩(t)=⟨x|\exp (-tH)|{\psi }_0⟩$

이다.

파인먼-카츠 공식에 따르면, 이 방정식의 해는 구체적으로 다음과 같이 주어진다.

$\psi (T,x_0)=\underset{{𝒞}_{x_0}^0([0,T],M)}{\int }{\psi }_0(x_0)\exp (-\underset{0}{\overset{T}{\int }}V(f(t))\mathrm{d}t)\mathrm{d}{W}_{x_0}(f)$

증명

편의상 $h=V=0$, $n=1$인 경우만을 생각하자.

$g(X(t),t)$의 마팅게일 특성

만약 시점 $0\le s\le t\le T$가 주어졌을 경우, 시점 $s$와 $t$에 $f(X(T))$가 갖는 기댓값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$𝔼[f(X(T))|ℱ(s)]=g(X(s),s),$

$𝔼[f(X(T))|ℱ(t)]=g(X(t),t)$

이 두 식과 반복 조건(iterated condition)의 법칙을 활용해 시점 $s$에 $g(t,X(t))$가 갖는 기댓값을 다음과 같이 정리할 수 있다.

$\begin{array}{cc}𝔼[g(X(T),t))|ℱ(s)]& =𝔼[𝔼[f(X(T))|ℱ(t)]|ℱ(s)]\\ & =𝔼[f(X(T))|ℱ(s)]=g(X(s),s)\end{array}$

따라서 $g(X(t),t)$는 마팅게일이다.

편미분 방정식의 도출

이토 확률 과정 $X(u)$에 대한 확률 미분 방정식의 해를 $X(t)$라고 하자. $g(X(t),t)$가 마팅게일이므로 미분 계수 $\mathrm{d}g(X(t),t)$에서 시간 $t$에 대한 변화율을 나타내는 항인 $\mathrm{d}t$는 반드시 0이다. 미분 계수 $\mathrm{d}g(X(t),t)$를 정리하면 다음과 같다.

$\begin{array}{cc}\mathrm{d}g(X(t),t)& =\frac{\partial }{\partial t}g(X(t),t)dt+\frac{\partial }{\partial x}g(X(t),t)dX+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}g(X(t),t)\mathrm{d}X\mathrm{d}X\\ & =\frac{\partial }{\partial t}g(X(t),t)\mathrm{d}t+\mu \frac{\partial }{\partial x}g(X(t),t)\mathrm{d}t+\sigma \frac{\partial }{\partial X}g(X(t),t)\mathrm{d}W(t)+\frac{1}{2}{\sigma }^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}g(X(t),t)\mathrm{d}t\\ & =[\frac{\partial }{\partial t}g(X(t),t)+\mu \frac{\partial }{\partial x}g(X(t),t)+\frac{1}{2}{\sigma }^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}g(X(t),t)]\mathrm{d}t+\sigma \frac{\partial }{\partial x}g(X(t),t)\mathrm{d}W(t)\end{array}$

따라서 항 $\mathrm{d}t$의 계수를 분리해 내면 다음과 같이 모든 $x$에 대해 $g(X(t),t)$가 만족시키는 편미분 방정식을 구할 수 있다.

$\frac{\partial }{\partial t}g(x,t)+\mu \frac{\partial }{\partial x}g(x,t)+\frac{1}{2}{\sigma }^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}g(x,t)=0$

역사

리처드 파인먼과 마레크 카츠(틀:Llang, 틀:Llang, 1914〜1984)의 이름을 땄다.

• 
  리처드 파인먼
• 
  마레크 카츠

파인먼은 이 공식을 양자역학의 경로 적분을 정의하기 위하여 유도하였으나, 엄밀하게 증명하지 않았다. 마레크 카츠가 이 공식의 엄밀한 증명을 1949년에 출판하였다.

같이 보기

• 이토의 보조정리
• 기르사노프 정리

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:웹 인용