부분 적분

미적분학에서 부분 적분(部分積分, 틀:Llang)은 두 함수의 곱을 적분하는 기법이다.

정의

틀:참고 만약 $I\subseteq ℝ$가 구간이며 $u,v:I\to ℝ$가 연속 미분 가능 함수라면 (도함수 $u^{\prime },v^{\prime }$가 연속 함수라면), 다음이 성립한다.틀:Rp

$\int u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x$

이를 $u^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\mathrm{d}u$ 및 $v^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\mathrm{d}v$를 통해 간략히 쓰면 다음과 같다.

$\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$

만약 $u,v:[a,b]\to ℝ$가 연속 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.틀:Rp

$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x& =[u(x)v(x){]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x\\ & =u(b)v(b)-u(a)v(a)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x\end{array}$

증명

곱의 법칙에 따라 다음이 성립한다.

$u{v}^{\prime }=(uv{)}^{\prime }-u^{\prime }v$

양변은 모두 연속 함수이므로 부정적분이 존재한다. 양변에 부정적분을 취하면 다음을 얻으므로 부정적분에 대한 명제가 성립한다.틀:Rp

$\int u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x$

또한 양변은 모두 적분 가능하며, 양변에 적분을 취하면 다음을 얻으므로 정적분의 경우가 성립한다.틀:Rp

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(x)v^{\prime }(x)\mathrm{d}x=[u(x)v(x){]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}^{\prime }(x)v(x)\mathrm{d}x$

LIATE 법칙 (또는 로.다.삼.지 법칙)

이 명제에서는 주어진 적분에서 $u$와 $\mathrm{d}v$를 선택하는 방법을 밝히지는 않는데, 보통 도함수가 비교적 간단한 부분을 $u$로 두거나, 원함수가 비교적 간단한 부분을 $v^{\prime }$으로 두는 것이 좋다. 도함수가 자기 자신보다 단순한 정도에 따라, 두 함수 가운데 로그 함수, 역삼각 함수, 대수적 함수, 삼각 함수, 지수 함수에서 먼저 나오는 유형에 속하는 하나를 $u$로 삼는 법칙을 제시한 저자도 존재하며, 이러한 법칙을 함수 유형들의 첫자들을 따 LIATE 법칙(틀:Llang)이라고 부른다. 즉 로그함수, 역삼각함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수 순으로 '왼쪽 방향'으로 갈수록 미분에 용이하며, '오른쪽 방향'으로 갈수록 적분에 용이하다는 것이다. 그러나 이 법칙은 때로 옳지 않을 수 있다.

따름정리

만약 $I\subseteq ℝ$가 구간이며 $u,v:I\to ℝ$가 $n$번 연속 미분 가능 함수라면 ($n$계 도함수 $u^{(n)},v^{(n)}$이 연속 함수라면), 다음이 성립한다.틀:Rp

$\int u(x)v^{(n)}(x)\mathrm{d}x=\sum _{k=0}^{n-1}(-1{)}^k{u}^{(k)}(x)v^{(n-1-k)}(x)+(-1{)}^n\int u^{(n)}(x)v(x)\mathrm{d}x$

이는 부분 적분을 반복하여 증명할 수 있다. 이러한 적분을 풀 때에는 보통 이 공식에 대입하는 대신 부분 적분을 직접 반복하거나 표를 사용한다.

예

첫째 예

부정적분

$\int x^2\ln x\mathrm{d}x$

을 구하자. $u=\ln x$이며 $\mathrm{d}v=x^2\mathrm{d}x$라고 하자. 그러면 $\mathrm{d}u=(\mathrm{d}x)/x$이며 (상수차를 무시하면) $v=x^3/3$이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.틀:Rp

$\int x^2\ln x\mathrm{d}x$	$=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{1}{3}\int x^2\mathrm{d}x$
	$=\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{1}{9}{x}^3+C$

둘째 예

부정적분

$\int \arcsin x\mathrm{d}x$

를 구하자. $u=\arcsin x$이며 $\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$라고 하자. 그러면 $\mathrm{d}u=(\mathrm{d}x)/\sqrt{1-x^2}$이며 $v=x$이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.틀:Rp

$\int \arcsin x\mathrm{d}x$	$=x\arcsin x-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$
	$=x\arcsin x+\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}$
	$=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C$

셋째 예

부정적분

$\int x^2\sin x\mathrm{d}x$

을 구하자. $u=x^2$이며 $\mathrm{d}v=\sin x\mathrm{d}x$라고 하자. 그러면 $\mathrm{d}u=2x$이며 $v=-\cos x$이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

$\int x^2\sin x\mathrm{d}x=-x^2\cos x+2\int x\cos x\mathrm{d}x$

우변의 마지막 항의 적분에서 $u=x$, $\mathrm{d}v=\cos x\mathrm{d}x$, $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$, $v=\sin x$라고 하여 다시 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

$\int x\cos x\mathrm{d}x$	$=x\sin x-\int \sin x\mathrm{d}x$
	$=x\sin x+\cos x+C$

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.틀:Rp

$\int x^2\sin x\mathrm{d}x=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$

넷째 예

부정적분

$\int \sqrt{x^2-1}\mathrm{d}x$

을 구하자. $u=\sqrt{x^2-1}$이며 $\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$라고 하자. 그러면 $\mathrm{d}u=(x/\sqrt{x^2-1})\mathrm{d}x$이며 $v=x$이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.틀:Rp

$\int \sqrt{x^2-1}\mathrm{d}x$	$=x\sqrt{x^2-1}-\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}\mathrm{d}x$
	$=x\sqrt{x^2-1}-\int \sqrt{x^2-1}\mathrm{d}x-\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-1}}$
	$=x\sqrt{x^2-1}-\ln |x+\sqrt{x^2-1}|-\int \sqrt{x^2-1}\mathrm{d}x$

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.틀:Rp

$\int \sqrt{x^2-1}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2-1}-\frac{1}{2}\ln |x+\sqrt{x^2-1}|+C$

다섯째 예

다음과 같은 두 적분을 구하자.

$\int e^{ax}\cos bx\mathrm{d}x$

$\int e^{ax}\sin bx\mathrm{d}x$

이 둘에 각각 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

$\int e^{ax}\cos bx\mathrm{d}x$	$=\frac{1}{b}\int e^{ax}\mathrm{d}(\sin bx)$
	$=\frac{1}{b}{e}^{ax}\sin bx-\frac{a}{b}\int e^{ax}\sin bx\mathrm{d}x$

$\int e^{ax}\sin bx\mathrm{d}x$	$=-\frac{1}{b}\int e^{ax}\mathrm{d}(\cos bx)$
	$=-\frac{1}{b}{e}^{ax}\cos bx+\frac{a}{b}\int e^{ax}\cos bx\mathrm{d}x$

즉, 다음과 같은 연립 방정식이 성립한다.

$b\int e^{ax}\cos bx\mathrm{d}x+a\int e^{ax}\sin bx\mathrm{d}x=e^{ax}\sin bx$

$a\int e^{ax}\cos bx\mathrm{d}x-b\int e^{ax}\sin bx\mathrm{d}x=e^{ax}\cos bx$

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.틀:Rp

$\int e^{ax}\cos bx\mathrm{d}x=\frac{1}{a^2+b^2}{e}^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)+C$

$\int e^{ax}\sin bx\mathrm{d}x=\frac{1}{a^2+b^2}{e}^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)+C$

여섯째 예

다음과 같은 적분을 구하자.

$\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+a^2{)}^2}(a>0)$

다음과 같은 부분 적분을 사용하자 (구하려는 적분에 직접 적용하지 않았음에 주의하자).

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}$	$=\frac{x}{x^2+a^2}+2\int \frac{x^2}{(x^2+a^2{)}^2}\mathrm{d}x$
	$=\frac{x}{x^2+a^2}+2\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}-2a^2\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+a^2{)}^2}$

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.틀:Rp

$\int \frac{\mathrm{d}fx}{(x^2+a^2{)}^2}$	$=\frac{1}{2a^2}\frac{x}{x^2+a^2}+\frac{1}{2a^2}\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2+a^2}$
	$=\frac{1}{2a^2}\frac{x}{x^2+a^2}+\frac{1}{2a^3}\arctan \frac{x}{a}+C$

같이 보기

• 부정적분#부분 적분
• 리만 적분#부분 적분
• 아벨 변환
• 아벨의 합 공식

외부 링크

• 틀:수학노트
• 틀:Eom
• 틀:매스월드