군 표현의 지표

정의

$G$ 가 군이고, $V$ 가 체 $k$ 에 대한 벡터 공간이고, $ρ : G \to GL (V)$ 가 군 표현이라고 하자. $G$ 의 공액류의 집합을 $[G]$ 로 쓰자. 그렇다면 표현 $ρ$ 의 지표 $χ_{ρ} : [G] \to k$ 는 다음과 같은 함수다.

χ_{ρ} ([g]) = tr ρ (g)

. (

g \in G

,

[g] \in G

는

g

표현 $ρ$ 의 차원은 $\dim ρ = χ_{ρ} (1)$ 이다.

지표는 군 표현의 직합과 텐서곱을 준수한다. 즉,

χ_{ρ \oplus σ} = χ_{ρ} + χ_{σ}

χ_{ρ \otimes σ} = χ_{ρ} χ_{σ}

이다.

표현의 텐서 제곱 $ρ \otimes ρ$ 는 다음과 같이 대칭 및 반대칭 성분으로 분해할 수 있다.

ρ \otimes ρ = {Sym}^{2} (ρ) + ρ \land ρ

.

이 경우,

χ_{ρ \land ρ} (g) = \frac{1}{2} ((χ_{ρ})^{2} (g) - χ_{ρ} (g^{2}))

χ_{{Sym}^{2} (ρ)} (g) = \frac{1}{2} ((χ_{ρ})^{2} (g) + χ_{ρ} (g^{2}))

이다.

복소수 벡터 공간 위 표현의 경우, 다음이 성립한다.

χ_{ρ^{*}} = {\bar{χ}}_{ρ}

.

여기서 $ρ^{*}$ 는 복소 표현의 행렬 원소들의 (전치 없는) 복소켤레 표현이고, ${\bar{χ}}_{ρ}$ 는 $χ_{ρ}$ 의 복소켤레이다.

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 유한군의 지표론을 제창하였다.^[1] 이는 군 표현이 정의되기 이전이었고, 군 표현론의 시초로 여겨진다.