우리손 공간

틀:위키데이터 속성 추적 틀:분리공리 일반위상수학에서 우리손 공간(Урысон空間, 틀:Llang) 또는 T_2½ 공간(T_2½空間, 틀:Llang)은 분리공리의 일부로 다뤄지는 특정한 성질을 만족하는 위상 공간이다. 소비에트 연방의 위상수학자 파벨 사무일로비치 우리손의 이름이 붙어 있다.

정의

다음 조건을 만족시키는 위상 공간 $X$를 우리손 공간이라고 한다.틀:Rp

• 임의의 두 점 $a,b\in X$은 폐포가 서로 겹치지 않는 열린 근방을 갖는다. 즉, $E\cap F=\varnothing$인 닫힌 근방 $E\ni a$, $F\ni b$가 존재한다.

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $X$를 완비 하우스도르프 공간(틀:Llang)이라고 한다.

• 임의의 두 점 $a,b\in X$에 대하여, $f(a)=0$, $f(b)=1$인 연속 함수 $f:X\to [0,1]$가 존재한다. 즉, 스톤-체흐 콤팩트화로 가는 자연스러운 연속 함수 $X\to \beta X$는 단사 함수이다.
• 임의의 두 서로소 콤팩트 집합 $K,K^{\prime }\subseteq X$에 대하여, $f(K)=\{0\}$, $f(K^{\prime })=\{1\}$인 연속 함수 $f:X\to [0,1]$가 존재한다.

틀:증명 모든 한원소 집합은 콤팩트 집합이므로, 두 번째 조건은 자명하게 첫 번째 조건을 함의한다. 반대로, 위상 공간 $X$의 임의의 두 점이 연속 함수로 분리된다고 가정하고, 두 콤팩트 집합 $K,K^{\prime }\subseteq X$이 주어졌으며, $K\cap K^{\prime }=\varnothing$이라고 하자. 각 $a\in K$ 및 $b\in K^{\prime }$에 대하여, $f_{ab}(a)=0$, $f_{ab}(b)=0$인 연속 함수 $f_{ab}:X\to [0,1]$를 취하자. 그렇다면 $K^{\prime }$의 $X$에서의 열린 덮개 $\{f_{ab}((1/2,1]):b\in K\}$는 유한 부분 덮개

$\{f_{a{b}_1}((1/2,1]),f_{a{b}_2}((1/2,1]),\dots ,f_{a{b}_n}((1/2,1])\}$

를 갖는다. 그렇다면 연속 함수

$f_a=2\min \{f_{a{b}_1},f_{a{b}_2},\dots ,f_{a{b}_n},1/2\}:X\to [0,1]$

는 $f_a(a)=0$, $f_a(K^{\prime })=\{1\}$을 만족시킨다. 마찬가지로, $K$의 $X$에서의 열린 덮개 $\{f_a([0,1/2)):a\in K\}$는 유한 부분 덮개

$\{f_{a_1}([0,1/2)),f_{a_2}([0,1/2)),\dots ,f_{a_n}([0,1/2))\}$

를 가지며, 연속 함수

$f=2\max \{f_{a_1},f_{a_2},\dots ,f_{a_n},1/2\}-1:X\to [0,1]$

는 $f(K)=\{0\}$, $f(K^{\prime })=\{1\}$을 만족시킨다. 틀:증명 끝

성질

함의 관계

일반적으로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

티호노프 공간(T_3½) ⊆ 정칙 하우스도르프 공간(T₃) ⊆ 우리손 공간(T_2½) ⊆ 하우스도르프 공간(T₂)틀:Rp

티호노프 공간(T_3½) ⊆ 완비 하우스도르프 공간 ⊆ 우리손 공간(T_2½) ⊆ 하우스도르프 공간(T₂)

하지만 정칙 하우스도르프 공간과 완비 하우스도르프 공간 사이에는 직접적인 함의 관계가 성립하지 않는다.

범주론적 성질

우리손 공간과 연속 함수들은 범주 $\mathrm{Ury}$를 이룬다. 이 범주는 다음 성질들을 만족시킨다.

• 우리손 공간의 전사 사상 $f:X\to Y$은 상 $f(X)$으로부터 닫힌 근방들의 교집합을 취하는 연산을 초한 번 반복하면 공역 $Y$를 얻는 연속 함수이다 (즉, 스스로의 닫힌 근방들의 교집합인 $f(X)\subseteq B\subseteq Y$는 $B=Y$밖에 없어야 한다).틀:Rp
• 쌍대 정멱 범주가 아니다.틀:Rp

이를 증명한 저자는 다음과 같이 평했다. 틀:인용문2

같이 보기

• 하우스도르프 공간
• 정칙 공간
• 티호노프 공간

외부 링크

• 틀:Eom
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