필터 (수학)

집합 $\{1,2,3,4\}$의 멱집합의 하세 도형. 녹색 원소들은 극대 필터를 구성하며, 반대로 흰색 원소들은 극대 순서 아이디얼을 구성한다.

순서론에서 필터(틀:Llang)는 어떤 원순서 집합의 하향 상집합이며, 반대로 순서 아이디얼(順序ideal, 틀:Llang)은 어떤 원순서 집합의 상향 하집합이다.

일반위상수학에서 필터의 개념은 점렬의 일반화로 사용되며, 수리논리학에서 필터는 초곱을 정의하는 데 쓰인다. 예를 들어, 초실수의 집합은 자연수 집합 위의 극대 필터를 사용하여 정의된다.

정의

필터와 순서 아이디얼

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 부분 집합 $S\subseteq X$ 가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 필터라고 한다.

• $S$는 하향 원순서 집합이다.
• $S$는 상집합이다.

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 부분 집합 $S\subseteq X$ 가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 순서 아이디얼이라고 한다.

• $S$는 상향 원순서 집합이다.
• $S$는 하집합이다.

소 필터와 소 순서 아이디얼

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 필터 $S\subseteq X$에 대하여, 만약 $X\setminus S$가 아이디얼이라면, $S$를 소 필터(틀:Llang), $X\setminus S$를 소 순서 아이디얼(틀:Llang)이라고 한다.

극대 필터와 극대 순서 아이디얼

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 필터들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합 $\mathrm{Filter}(X,\lesssim )$을 이루며, 만약 $X$가 하향 원순서 집합이라면 그 최대 원소는 $X\in \mathrm{Filter}(X,\lesssim )$ 자체이다. 이 경우, $\mathrm{Filter}(X,\lesssim )\setminus \{X\}$의 극대 원소를 극대 필터(極大filter, 틀:Llang) 또는 초필터(超filter, 틀:Llang)라고 한다.

마찬가지로, 원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 순서 아이디얼들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합 $\mathrm{Ideal}(X,\lesssim )$을 이루며, 만약 $X$가 상향 원순서 집합이라면 그 최대 원소는 $X\in \mathrm{Ideal}(X,\lesssim )$ 자체이다. 이 경우 $\mathrm{Ideal}(X,\lesssim )\setminus \{X\}$의 극대 원소를 극대 순서 아이디얼(極大順序ideal, 틀:Llang)라고 한다.

($X$ 자체를 제외하는 것은 환론에서 극대 아이디얼을 정의할 때 환 자체를 제외하는 것과 유사하다.)

성질

합집합과 교집합

같은 원순서 집합 속의 두 필터의 합집합이나 교집합은 일반적으로 필터가 아니며, 순서 아이디얼의 경우도 마찬가지다. 다만, 원순서 집합 $(X,\lesssim )$ 속의 필터들의 사슬 $𝒞\subseteq \mathrm{Filter}(X,\lesssim )$에 대하여, 합집합 $\bigcup 𝒞$은 필터를 이룬다. 그러나 교집합 $\bigcap 𝒞$는 여전히 필터가 아닐 수 있다. 마찬가지로, 순서 아이디얼들의 사슬의 합집합은 순서 아이디얼이지만, 교집합은 순서 아이디얼이 아닐 수 있다.

예를 들어, 자연수 집합 $\mathbb{N}$에 서로 비교 불가능한 두 개의 무한대 $\mathrm{\infty }$, ${\mathrm{\infty }}^{\prime }$를 추가하였을 때,

$F_i=\{n\in \mathbb{N}:n\ge i\}\cup \{\mathrm{\infty },{\mathrm{\infty }}^{\prime }\}$

는 필터이지만,

$\bigcap _{i\in \mathbb{N}}{F}_i=\{\mathrm{\infty },{\mathrm{\infty }}^{\prime }\}$

는 하향 원순서 집합이 아니므로 필터가 아니다.

극대 필터 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 하향 원순서 집합 $(X,\lesssim )$
• 필터 $F⊊X$
• 최소 원소 $\mathrm{\perp }\in X$. 즉, 모든 $x\in X$에 대하여 $\mathrm{\perp }\lesssim x$이다.

극대 필터 정리(極大filter定理, 틀:Llang)에 따르면, $F$를 포함하는 극대 필터가 항상 적어도 하나 이상 존재한다. 이는 초른 보조정리로 쉽게 증명된다.

증명:

부분 순서 집합

$ℛ=\{F^{\prime }\in \mathrm{Filter}(X,\lesssim ):F\subseteq F^{\prime }\ne X\}$

를 생각하자. 초른 보조정리에 따라, $ℛ$ 속의 모든 사슬이 상계를 가지는 것을 보이면 족하다.

$ℛ$ 속의 임의의 사슬 $𝒞\subseteq ℛ$에 대하여, $\bigcup 𝒞$는 $𝒞$의 상계이다. 이제 $\bigcup 𝒞\ne X$임을 보이면 족하다.

귀류법을 사용하여, $\bigcup 𝒞=X$라고 가정하자. 그렇다면

$\mathrm{\perp }\lesssim C\in 𝒞$

인 $C\in 𝒞$를 찾을 수 있다. 그렇다면 $C=X\in ̸ℛ$인데, 이는 모순이다.

마찬가지로, 최대 원소를 갖는 상향 원순서 집합 $(X,\lesssim )$에서, $X$ 전체가 아닌 모든 순서 아이디얼은 극대 순서 아이디얼에 포함된다.

격자

격자 $L$의 부분 집합 $I\subseteq L$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $I$는 순서 아이디얼이다.
• 다음 세 조건이 성립한다.
  • 공집합이 아니다.
  • $x,y\in I$에 대하여 $x\vee y\in I$이다.
  • $x\in I$ 및 $y\in L$에 대하여 $x\wedge y\in I$이다.
• $I={\varphi }^{-1}(0)$인 이음 반격자 준동형 $\varphi :L\to 2$가 존재한다.

격자 $L$의 부분 집합 $F\subseteq L$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $F$는 필터이다.
• 다음 세 조건이 성립한다.
  • 공집합이 아니다.
  • $x,y\in F$에 대하여 $x\wedge y\in F$이다.
  • $x\in F$ 및 $y\in L$에 대하여 $x\vee y\in F$이다.
• $F={\varphi }^{-1}(1)$인 만남 반격자 준동형 $\varphi :L\to 2$가 존재한다.

격자 $L$의 부분 집합 $I\subseteq L$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $I$는 소 순서 아이디얼이다.
• $L\setminus I$는 소 필터이다.
• $I={\varphi }^{-1}(0)$인 격자 준동형 $\varphi :L\to 2$가 존재한다.

필터 격자와 순서 아이디얼 격자

일반적인 격자의 순서 아이디얼/필터들의 부분 순서 집합은 격자일 필요가 없다. 순서 아이디얼들/필터들의 교집합이 공집합일 수 있기 때문이다. 유계 이음 반격자 $S$의 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합 $\mathrm{Ideal}(S)$은 대수적 격자를 이룬다. (이는 모든 순서 아이디얼은 그 속의 주 순서 아이디얼들의 상한이며, 모든 주 순서 아이디얼은 순서 아이디얼 격자의 콤팩트 원소이기 때문이다.) 순서 아이디얼들의 집합 $ℐ\subseteq \mathrm{Ideal}(S)$의 상한과 하한은 다음과 같다.

$\bigvee ℐ=\{x\in S:x\le i_1\vee \cdots \vee i_n,i_k\in I_k,k=1,\dots ,n,I_1,\dots ,I_n\in ℐ,n=1,2,\dots \}$

$\bigwedge ℐ=\bigcap ℐ$

쌍대적으로, 유계 만남 반격자 $S$의 필터들의 부분 순서 집합 $\mathrm{Filter}(S)$은 대수적 격자를 이룬다. (이는 모든 필터는 그 속의 주 필터들의 상한이며, 모든 주 필터는 필터 격자의 콤팩트 원소이기 때문이다.) 필터들의 집합 $ℱ\subseteq \mathrm{Filter}(S)$의 상한과 하한은 다음과 같다.

$\bigvee ℱ=\{x\in S:x\ge f_1\wedge \cdots \wedge f_n,f_k\in F_k,k=1,\dots ,n,F_1,\dots ,F_n\in ℱ,n=1,2,\dots \}$

$\bigwedge ℱ=\bigcap ℱ$

반대로 모든 대수적 격자는 어떤 유계 이음 반격자의 순서 아이디얼 격자와 동형이며, 마찬가지로 어떤 유계 만남 반격자의 필터 격자와 동형이다.틀:Rp

격자 $L$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합 $\mathrm{Ideal}(L)$은 분배 격자이다.
• 필터들의 부분 순서 집합 $\mathrm{Filter}(L)$은 분배 격자이다.
• $L$은 분배 격자이다.

볼록 부분 격자

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 부분 집합 $S\subseteq X$가 다음 두 조건을 만족시키면, (순서) 볼록 집합(틀:Llang)이라고 한다.

• 임의의 $x,y\in S$ 및 $z\in X$에 대하여, 만약 $x\lesssim z\lesssim y$라면, $z\in S$

격자 $L$의 순서 아이디얼 $I$와 필터 $F$의 교집합 $I\cap F$는 항상 $L$의 볼록 부분 격자이다. 반대로, 모든 공집합이 아닌 볼록 부분 격자는 순서 아이디얼과 필터의 교집합으로 유일하게 나타낼 수 있다.틀:Rp 틀:증명 격자 $L$의 순서 아이디얼 $I$와 필터 $F$가 주어졌다고 하자. $I$와 $F$가 부분 격자이므로, 교집합 역시 부분 격자이다. $x,y\in I\cap F$ 및 $z\in L$이 주어졌고, $x\le z\le y$라고 하자. 그렇다면 $I$가 하집합이므로 $z\in I$이며, $F$가 상집합이므로 $z\in F$이다. 따라서, $I\cap F$는 $L$의 볼록 부분 격자이다.

반대로, $L$의 볼록 부분 격자 $S$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $S$는 상향 집합이자 하향 집합이다. $S$를 포함하는 최소의 순서 아이디얼 $\downarrow S$ 및 필터 $\uparrow S$를 생각하자. 그렇다면, 자명하게 $S\subseteq \downarrow S\cap \uparrow S$이다. 또한, $S$가 볼록 부분 격자이므로 $\downarrow S\cap \uparrow S\subseteq S$이다. 따라서 $S$는 순서 아이디얼 $\downarrow S$와 필터 $\uparrow S$의 교집합이다.

이제, $L$의 볼록 부분 격자 $S=I\cap F$가 순서 아이디얼 $I$와 필터 $F$의 교집합이라고 하자. 쌍대성에 따라, $I=\downarrow S$를 보이면 족하다. $S\subseteq I$이므로 $\downarrow S\subseteq I$이다. 반대로 $x\in I$라고 하자. 임의의 $y\in S$를 취하자. 그렇다면, $y\in I$이므로 $x\vee y\in I$이며, $y\in F$이므로 $x\vee y\in F$이다. 즉, $x\vee y\in S$이다. $x\le x\vee y$이므로, $x\in \downarrow S$이다. 틀:증명 끝

불 대수

불 대수 $(B,\vee ,\wedge ,\mathrm{\neg })$는 다음과 같이 표준적으로 가환환으로 여길 수 있다.

$xy=x\wedge y$

$x+y=(x\vee y)\wedge \mathrm{\neg }(x\wedge y)$

또한, 불 대수 $(B,\vee ,\wedge ,\mathrm{\neg })$는 다음과 같이 표준적으로 부분 순서 집합으로 여길 수 있다.

$x\le y⟺x=x\wedge y⟺y=x\vee y$

그렇다면, $B$의 순서 아이디얼의 개념은 가환환으로서의 아이디얼의 개념과 일치한다.

불 대수 $B$ 위의 필터 $𝒰$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $𝒰$는 극대 필터이다.
• 임의의 $x\in B$에 대하여, $x\in 𝒰$이거나 $\mathrm{\neg }x\in 𝒰$이다.
• $B\setminus 𝒰$는 극대 순서 아이디얼이다.

그물의 유도 필터

집합 $X$와 상향 원순서 집합 $(I,\lesssim )$ 및 그물 $x_{\bullet }:I\to X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $(x_i{)}_{i\in I}$의 꼬리들의 집합

$\{\{x_{i^{\prime }}:i\lesssim i^{\prime }\}:i\in I\}$

은 하향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 필터

$\{S\subseteq X:\mathrm{\exists }i\in I:\{x_{i^{\prime }}:i\lesssim i^{\prime }\}\subseteq S\}$

를 그물 $x_{\bullet }$의 유도 필터(틀:Llang)라고 한다.

마찬가지로, 집합 $Y$와 하향 원순서 집합 $(J,\lesssim )$ 및 함수 $y_{\bullet }:J\to Y$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $(y_j{)}_{j\in J}$의 머리들의 집합

$\{\{y_{j^{\prime }}:j^{\prime }\lesssim j\}:j\in J\}$

은 상향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 아이디얼

$\{S\subseteq Y:\mathrm{\exists }j\in J:\{x_{j^{\prime }}:j^{\prime }\lesssim j\}\subseteq S\}$

를 $y_{\bullet }$의 유도 순서 아이디얼(틀:Llang)라고 한다.

수열은 그물의 특수한 경우이므로, 마찬가지로 유도 필터를 정의할 수 있다.

필터에 대응되는 그물

모든 그물에 필터가 대응되는 것처럼, 모든 필터에도 그물을 대응시킬 수 있다. 따라서, 위상 수학에서 그물 이론과 필터 이론은 사실상 동치이다.

집합 $X$의 멱집합 $(𝒫(X),\subseteq )$의 부분 집합 $ℱ\subseteq 𝒫(X)$가 주어졌을 때, 집합

$I=\{(x,A):x\in A\in ℱ\}\subseteq X\times ℱ$

에 다음과 같은 원순서를 줄 수 있다.

$(x,A)\lesssim (y,B)⟺A\subseteq B$

만약 $ℱ$가 상향 원순서 집합이며 $ℱ\ne \{\varnothing \}$이라면 $I$ 역시 상향 원순서 집합이며,

$n:I\to X$

$n:(x,A)\mapsto x$

는 그물을 이룬다. 반대로, $ℱ$가 하향 원순서 집합이며 $ℱ\ne 𝒫(X)$라면 $I$ 역시 하향 원순서 집합이며,

$n:I^{\mathrm{op}}\to X$

$n:(x,A)\mapsto x$

는 그물을 이룬다.

멱집합 위의 필터

집합 $X$의 멱집합 $(𝒫(X),\subseteq )$ 위의 필터 $𝒰$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $𝒰$는 극대 필터이다.
• $𝒰\ne 𝒫(X)$이며, 임의의 $A,B\subseteq X$에 대하여, 만약 $A\cup B\in 𝒰$라면 $A\in 𝒰$이거나 $B\in 𝒰$이다.
• $𝒰\ne 𝒫(X)$이며, 임의의 $A\subseteq X$에 대하여, $A\in 𝒰$이거나 $X\setminus A\in 𝒰$이다.

따라서, 집합 $X$의 멱집합 $(𝒫(X),\subseteq )$ 위의 극대 필터 $𝒰\subseteq 𝒫(X)$는 대략 "대부분"의 개념의 추상화로 여길 수 있다. 즉, 어떤 집합의 부분 집합 $A\subseteq X$는 "대부분"이거나 ($A\in 𝒰$), 아니면 그 여집합이 "대부분"이다 ($X\setminus A\in 𝒰$).

한원소 부분 집합에 대한 주 필터

$\uparrow \{x\}=\{S\subseteq X:x\in S\}$

는 극대 필터이다. 유한 집합의 멱집합 위의 극대 필터는 모두 위와 같은 꼴이다.

완비 극대 필터

기수 $\kappa$에 대하여, $\kappa$-완비 극대 필터(틀:Llang)는 다음 성질을 만족시키는, 집합 위의 극대 필터 $𝒰$이다.

• 임의의 $𝒱\subset 𝒰$에 대하여, 만약 $|V|<\kappa$라면 $\bigcap 𝒱\in 𝒰$이다.

정의에 따라, 모든 극대 필터는 ${\mathrm{\aleph }}_0$-완비 극대 필터이다.

집합 $X$ 위의 극대 필터 $𝒰$의 완비성 $\kappa$는 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 기수이다.

• $\bigcap 𝒱\in ̸𝒰$이며 $|𝒱|=\kappa$인 $𝒱\subset 𝒰$가 존재한다.

만약 완비성이 존재한다면, 완비성은 정의에 따라 항상 ${\mathrm{\aleph }}_0$ 이상이다. 주 극대 필터의 경우, 완비성이 존재하지 않는다.

예

자명한 필터

임의의 하향 원순서 집합 $(X,\lesssim )$ 속에서, $X$ 자체는 필터를 이룬다. 마찬가지로, 임의의 상향 원순서 집합 $(X,\lesssim )$ 속에서, $X$ 자체는 순서 아이디얼을 이룬다.

주 필터와 주 아이디얼

어떤 원소 $x$를 포함하는 가장 작은 필터를 주 필터(틀:Llang)로 부르며,

$\uparrow x=\{y\in X:x\lesssim y\}$

로 표기한다. 어떤 원소 $x$를 포함하는 가장 작은 아이디얼을 주 순서 아이디얼(틀:Llang)로 부르며,

$\downarrow x=\{y\in X:y\lesssim x\}$

로 표기한다.

원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 극소 필터는 그 극대 원소로 생성되는 주 필터이다. 마찬가지로, 원순서 집합의 극소 순서 아이디얼은 그 극소 원소로 생성되는 주 순서 아이디얼이다.

프레셰 필터

집합 $S$ 및 무한 기수 ${\mathrm{\aleph }}_0\le \kappa$에 대하여,

${ℱ}_{\kappa }(S)=\{T\subset S:|S\setminus T|<\kappa \}$

는 $S$위의 필터를 이룬다. 만약 $\kappa ={\mathrm{\aleph }}_0$이라면, 이는 쌍대유한집합들의 집합이며, 이를 프레셰 필터(틀:Llang)라고 한다.

근방 필터

틀:본문 위상 공간에서, 주어진 점의 모든 근방들은 근방 필터라는 필터를 이룬다. 필터가 주어진 점에 수렴한다는 것은 근방 필터를 포함하는 것을 의미한다.

역사

순서 아이디얼의 개념은 불 대수에 대하여 1934년에 마셜 하비 스톤이 도입하였다. "순서 아이디얼"이라는 이름은 불 대수의 순서 아이디얼은 가환환으로서의 아이디얼과 일치하기 때문에 사용되었다. 1937년에 스톤은 순서 아이디얼을 격자에 대하여 "μ-아이디얼"(틀:Llang)이라는 이름으로 일반화하였다.틀:Rp 마찬가지로, 스톤은 격자 속의 필터를 "α-아이디얼"(틀:Llang)이라고 명명하였다.틀:Rp

이와 독자적으로, 앙리 카르탕은 1937년에 점렬의 개념을 일반화하여 "필터"(틀:Llang)와 "초필터"(틀:Llang)라는 용어를 도입하였다. 이후 니콜라 부르바키가 이 개념을 널리 사용하여 대중화하였다.

각주

• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
  • 틀:서적 인용
  • 틀:서적 인용
  • 틀:서적 인용

외부 링크

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