붙임 공간

틀:위키데이터 속성 추적 위상수학에서 붙임 공간(-空間, 틀:Llang)은 위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 밂이다. 이는 두 함수 가운데 하나가 쌍대올뭉치일 경우 잘 작동하지만, 그렇지 않을 경우는 호모토피 이론적으로 잘 작동하지 않는다. (즉, 호모토피 범주에서의 밂을 이루지 않는다.) 이러한 경우, 호모토피 붙임 공간(틀:Llang)을 사용하여야 한다.

마찬가지로, 당김 공간(-空間, 틀:Llang)은 위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 당김이다. 이는 두 함수 가운데 하나가 올뭉치일 경우 잘 작동하지만, 그렇지 않을 경우는 호모토피 이론적으로 잘 작동하지 않는다. (즉, 호모토피 범주에서의 당김을 이루지 않는다.) 이러한 경우, 호모토피 당김 공간(틀:Llang)을 사용하여야 한다.

정의

붙임 공간

같은 정의역을 가진 두 연속 함수

$Y\stackrel{g}{\leftarrow }Z\stackrel{f}{\to }X$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 분리합집합 $X\bigsqcup Y$ 위에 다음과 같은 이항 관계를 정의하자.

$f(z)\succ g(z)\mathrm{\forall }z\in Z$

이는 일반적으로 대칭 관계도, 추이적 관계도 아니다. 이를 포함하는 가장 작은 동치 관계를 $\sim$라고 표시하자. 즉, $x,y\in X\bigsqcup Y$에 대하여, $x\sim y$라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다.

$\mathrm{\forall }x\in X,y\in Y:(x\sim y⟺\mathrm{\exists }{x}_0,\dots ,x_k\in X,y_0,\dots ,y_k\in Y:x=x_0\succ y_0\prec x_1\succ y_1\prec x_2\succ \cdots \succ y_k=y)$

마찬가지로, $x,x^{\prime }\in X$에 대하여 $x\sim x^{\prime }$이라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다.

$\mathrm{\forall }x,x^{\prime }\in X:(x\sim x^{\prime }⟺\mathrm{\exists }{x}_0,\dots ,x_k\in X,y_1,\dots ,y_k\in Y:x=x_0\succ y_1\prec x_1\succ y_2\prec x_2\succ \cdots \prec x_k=x^{\prime })$

마찬가지로, $y,y^{\prime }\in Y$에 대하여 $y\sim y^{\prime }$이라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다.

$\mathrm{\forall }y,y^{\prime }\in Y:(y\sim y^{\prime }⟺\mathrm{\exists }{x}_1,\dots ,x_k\in X,y_1,\dots ,y_k\in Y:y=y_0\prec x_1\succ y_1\prec x_2\succ \cdots \succ y_k=y^{\prime })$

$X$와 $Y$의 $f$ 및 $g$를 통한 붙임 공간은 분리합집합의 다음과 같은 몫공간이다.

$X{\cup }_{f,g}Y=\frac{X\bigsqcup Y}{\sim }$

이는 위상 공간의 범주의 밂을 이룬다.

붙임 공간의 구성에 따라, 붙임 공간은 $Z$의 위상에 의존하지 않는다. 따라서, $Z$에 $f$와 $g$에 대한 시작 위상을 부여하거나 이산 위상을 부여할 수 있다.

호모토피 붙임 공간

붙임 공간은 $f$나 $g$ 가운데 하나가 쌍대올뭉치가 아니라면 호모토피 이론적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 호모토피 붙임 공간을 사용하여야 한다.

연속 함수

$Y\stackrel{g}{\leftarrow }Z\stackrel{f}{\to }X$

가 주어졌을 때, 호모토피 붙임 또는 이중 사상 기둥(틀:Llang)은 다음과 같다.

$X{\cup }_{f}Z\times [0,1]{\cup }_{g}Y$

이 경우, 표준적인 함수

$X\stackrel{f}{\hookrightarrow }X{\cup }_{f}Z\times [0,1]{\cup }_{g}Y$

$Y\stackrel{g}{\hookrightarrow }X{\cup }_{f}Z\times [0,1]{\cup }_{g}Y$

는 (비호모토피 붙임 공간과 달리) 쌍대올뭉치를 이룬다.

당김 공간

같은 공역을 가진 두 연속 함수

$Y\stackrel{g}{\to }Z\stackrel{f}{\leftarrow }X$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 당김 공간(틀:Llang)은 다음과 같은, 곱공간 $X\times Y$의 부분 공간이다.

$X{\times }_{f,g}Y=\{(x,y)\in X\times Y:f(x)=g(y)\}\subseteq X\times Y$

이는 위상 공간의 범주의 당김을 이룬다.

이 경우, 표준적 연속 함수

$X{\times }_{Z}Y\to X$

$X{\times }_{Z}Y\to Y$

가 존재하지만, 이들은 일반적으로 올뭉치가 아니다.

호모토피 당김 공간

당김 공간은 $f$나 $g$ 가운데 하나가 올뭉치가 아니라면 호모토피 이론적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 호모토피 당김 공간을 사용하여야 한다.

같은 공역을 가진 두 연속 함수

$Y\stackrel{g}{\to }Z\stackrel{f}{\leftarrow }X$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 당김 공간(틀:Llang)은 다음과 같은, 곱공간 $X\times \mathrm{path}(Z)\times Y$의 부분 공간이다.

$\{(x,\gamma ,y)\in X\times \mathrm{path}(X)\times Y:\gamma (0)=f(x),\gamma (1)=g(y)\}$

여기서 $X^I$는 (콤팩트-열린집합 위상을 부여한) 경로 공간이다.

예

사상뿔

연속 함수 $f:X\to Y$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\{\bullet \}\leftarrow X\stackrel{f}{\to }Y$에 대한 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다. (여기서 $\{\bullet \}$은 한원소 공간이다.)

이에 대한 붙임 공간은 $Y$의 몫공간 $Y/f(X)$이다. 그러나 이는 일반적으로 각종 분리 공리를 따르지 않는다.

반면, 호모토피 붙임 공간은 다음과 같은 뿔로 구성된다.

$\mathrm{cone}(X){\cup }_{f}Y=\frac{(X\times [0,1])/(X\times \{0\})\bigsqcup Y}{((x,1)\sim f(x)\mathrm{\forall }x\in X}$

이를 사상뿔(寫像-, 틀:Llang)이라고 한다. 만약 $X$와 $Y$가 각종 분리 공리를 만족시킨다면, 그 사상뿔 역시 각종 분리 공리를 만족시킨다. 이는 호모토피 범주에서의 "몫공간"으로 생각할 수 있다. 사상뿔은 몫공간보다 더 나은 성질을 보이므로, 상대 호몰로지 ${\mathrm{H}}_{\bullet }(X,A)$는 보통 포함 함수 $A\hookrightarrow X$의 사상뿔의 축소 호몰로지로 정의된다.

특히, $X=Y$이며 $f={\mathrm{id}}_X$일 경우, 이는 $X$ 위의 뿔(틀:Llang) $\mathrm{cone}(X)=X\times [0,1]/(X\times \{0\})$이 된다.

사상기둥

연속 함수 $f:X\to Y$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X\stackrel{\mathrm{id}}{\leftarrow }X\stackrel{f}{\to }Y$에 대한 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다. (여기서 $\mathrm{id}$는 항등 함수이다.)

붙임 공간은 다음과 같은 $X\bigsqcup Y$의 몫공간이며, 이는 $Y$와 위상 동형이다.

$X{\cup }_{\mathrm{id},f}Y=\frac{Y\bigsqcup X}{f(x)\sim x\mathrm{\forall }x\in X}\cong Y$

호모토피 붙임 공간은 다음과 같이, $X$ 위의 기둥을 $Y$에 붙인 것이다.

$X\times [0,1]{\cup }_{f\times \{1\}}Y=\frac{X\times [0,1]\bigsqcup Y}{f(x)\sim (x,1)\mathrm{\forall }x\in X}$

이를 사상기둥(寫像-, 틀:Llang) $M_f$라고 한다.

$\begin{array}{ccc}X& \stackrel{f}{\to }& Y\\ \Vert & & \downarrow \\ X& \to & M_f\end{array}$

이 경우, 변형 수축

$M_f\to Y$

이 존재하며, 따라서 $M_f$와 $Y$는 서로 호모토피 동치이다. 또한,

$\tilde{f}:X\to M_f$

는 쌍대올뭉치를 이룬다. 따라서, 모든 함수는 쌍대올뭉치 및 호모토피 동치의 합성으로 분해할 수 있다. 이는 위상 공간의 모형 범주에서의 쌍대올분해(틀:Llang)이다.

특히, $X=Y$이고 $f={\mathrm{id}}_X$일 경우 사상기둥은 단순히 기둥 $X\times [0,1]$이 된다.

이음

두 선분(녹색 및 청색으로 표시)의 이음은 위와 같이 사면체를 이룬다.

다음과 같은, 곱공간의 사영 사상의 (호모토피) 붙임 공간을 생각하자.

$X\leftarrow X\times Y\to Y$

이에 대한 붙임 공간은 한원소 공간이다. (이는 곱공간 사영 사상이 쌍대올뭉치와 매우 다르기 때문이다.) 반면, 이에 대한 호모토피 붙임 공간

$X*Y=\frac{X\times Y\times [0,1]}{(x,y,0)\sim (x,y^{\prime },0),(x,y,1)\sim (x^{\prime },y,1)\mathrm{\forall }x,x^{\prime }\in X,y,y^{\prime }\in Y}$

은 $X$와 $Y$의 이음이라고 하며, 일반적으로 축약 가능 공간이 아니다.

특히, 0차원 초구 ${𝕊}^0=\{0,1\}$와의 이음은 현수 ${𝕊}^0*X=\mathrm{S}X$라고 한다. 마찬가지로, 한원소 공간과의 이음은 뿔 $\{\bullet \}*X=\mathrm{cone}(X)$을 이룬다.

사상 경로 공간

틀:본문 연속 함수 $f:X\to Y$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X\stackrel{f}{\to }Y\stackrel{\mathrm{id}}{\leftarrow }Y$에 대한 (호모토피) 당김 공간을 생각할 수 있다. (여기서 $\mathrm{id}$는 항등 함수이다.)

당김 공간의 경우는 이는 $X\times Y$의 부분 공간 위상을 부여한 $f$의 그래프

$\mathrm{graph}f=\{(x,f(x))\in X\times Y:x\in X\}\subseteq X\times Y$

이며 따라서 $X$와 위상 동형이다.

호모토피 당김 공간의 경우, 이는

$\mathrm{cocyl}f=\{(x,\gamma )\in X\times \mathrm{path}(Y):f(x)=\gamma (0)\}$

를 이루며, 이를 사상 경로 공간(寫像經路空間, 틀:Llang) 또는 사상 쌍대기둥(틀:Llang)이라고 한다. 그렇다면, 가환 그림은 다음과 같다.

$\begin{array}{ccc}X& \to & Y\\ \downarrow & & \Vert \\ \mathrm{cocyl}f& \to & Y\end{array}$

여기서 $\mathrm{cocyl}f$는 $X$와 약한 호모토피 동치이며 $\tilde{f}:\mathrm{cocyl}f\to Y$는 올뭉치이다. 따라서, 모든 함수는 호모토피 동치 및 올뭉치의 합성으로 분해할 수 있다. 이는 위상 공간의 모형 범주에서의 올분해(틀:Llang)이다.

경로 공간

위상 공간 $X$의 두 점 $x,x^{\prime }\in X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$\{\bullet \}\stackrel{x}{\to }X\stackrel{x^{\prime }}{\leftarrow }\{\bullet \}$

의 (호모토피) 당김 공간을 생각할 수 있다.

당김 공간은 단순히 한원소 공간이다. (이는 점 포함 사상이 올뭉치와 매우 다르기 때문이다.) 그러나 호모토피 당김 공간은 더 많은 정보를 가진다. 구체적으로, 이는 $X$ 위의, $x$에서 $x^{\prime }$으로 가는 경로들의 공간이다. 만약 $x=x^{\prime }$이라면, 이 호모토피 당김 공간의 경로 연결 성분들은 기본군 ${\pi }_1(X,x)$을 이룬다.

쐐기합

틀:본문 점을 가진 공간 $(X,x)$, $(Y,y)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$X\stackrel{x}{\leftarrow }\{\bullet \}\stackrel{y}{\to }Y$

의 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다.

붙임 공간은 쐐기합 $X\vee Y=(X\bigsqcup Y)/\{x,y\}$이다. 호모토피 붙임 공간은

$\frac{X\bigsqcup Y\bigsqcup [0,1]}{0\sim x,1\sim y}$

이다. 즉, 선분 $[0,1]$의 양끝에 $X$와 $Y$를 각각 점에서 붙인 것이다. 이는 쐐기합과 호모토피 동치이다.

같이 보기

• 몫공간

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용