동등자

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 동등자(同等子, 틀:Llang)는 여러 함수들이 같은 값을 갖게 되는, 정의역의 부분집합이다.

정의

집합 $X, Y$ 및 $X$ 에서 $Y$ 로 가는 함수들의 집합 $ℱ \subset Y^{X}$ 이 주어졌다고 하자. $ℱ$ 의 동등자 $Eq (ℱ)$ 는 다음과 같은 집합이다.

Eq (ℱ) = {x \in X | f (x) = g (x) \forall f, g \in ℱ}

자명한 경우로, $ℱ = \emptyset$ 인 경우 $Eq (\emptyset) = X$ 이며, $ℱ = {f}$ 로 하나의 원소만을 갖는 경우 역시 $Eq ({f}) = X$ 이다.

범주 $𝒞$ 에서, 대상 $X, Y \in 𝒞$ 및 사상 모임의 부분집합 $ℱ \subset hom (X, Y)$ 이 주어졌다고 하자. $ℱ$ 의 동등자 $(E, eq)$ 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

$E$ 는 $𝒞$ 의 대상이다.
$eq \in {hom}_{𝒞} (E, X)$ 는 $𝒞$ 의 사상이며, 모든 $f, g \in ℱ$ 에 대하여 $f \circ eq = g \circ eq$ 이다.

이는 다음과 같은 보편 성질을 만족시켜야 한다.

만약 $m : O \to X$ 가 임의의 $f, g \in ℱ$ 에 대하여 $f \circ m = g \circ m$ 을 만족시킨다면, $eq \circ u = m$ 인 유일한 사상 $u : O \to E$ 가 존재한다.

이는 극한의 간단한 예이며, 이 경우 지표 범주 $J$ 는 두 개의 대상 $X, Y$ 및 사상 집합 ${hom}_{J} (X, Y) = ℱ$ 를 가진다.

주어진 범주에서 동등자는 존재하지 않을 수 있다. 다만, 만약 $ℱ$ 가 공집합이거나 하나의 원소만을 갖는 경우 동등자는 항상 존재하며, 이 경우 $(E, eq) = (X, {id}_{X})$ 이다.

만약 범주 $𝒞$ 가 곱 및 당김을 갖는다면, 항상 동등자를 갖는다. 구체적으로, 다음과 같은 사상을 생각하자.

{diag}_{Y} = ({id}_{Y}, {id}_{Y}) : Y \to Y \times Y

(f, g) : X \to Y \times Y

그렇다면, 이에 대한 당김

X \times_{Y \times Y} Y

을 정의할 수 있으며, 이는 $f$ 와 $g$ 의 동등자와 같다. 동등자 사상은 당김의 표준 사영

π_{X} : X \times_{Y \times Y} Y \to X

에 의하여 주어진다.