피복 공간

피복 공간의 정의. 국소적으로, 충분히 작은 열린집합 $U$의 피복 사상 아래의 원상은 $U$의 분리합집합이다.

위상수학에서 피복 공간(被覆空間, 틀:Llang) 또는 덮개 공간은 어떤 공간을, 여러 겹의 "피복"을 이루며 둘러싸는 위상 공간이다.

정의

피복 공간은 올이 이산 공간인 올다발이다. 구체적으로, 위상 공간 $B$의 피복 공간 $(E,F,\pi )$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.틀:Rp

• $E$는 위상 공간이다.
• $\pi :E\to B$는 전사 연속 함수이다.
• $F$는 집합이다. 여기에 이산 위상을 부여하여 이산 공간으로 생각할 수 있다.

이 데이터가 피복 공간을 이루려면, 임의의 $b\in B$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 $U\ni b$가 존재하여야 한다.

• $\tilde{U}={\pi }^{-1}(U)$에 부분 공간 위상을 주고, $F$에 이산 위상을 주면, 위상 동형 $\iota :U\times F\to \tilde{U}$가 존재하며, 또한 모든 $f\in F$에 대하여 $\pi {|}_{\iota (f\times U)}:\iota (f\times U)\to U$ 역시 위상 동형이다.

이 경우, $\pi$를 피복 함수(被覆函數, 틀:Llang)라고 하며, $F$를 피복의 올(틀:Llang)이라고 한다. 위 조건을 만족시키는 근방을 피복 근방(被覆近傍, 틀:Llang)이라고 한다.

올이 $F$인 피복 공간을 $|F|$겹 피복 공간(틀:Llang)이라고 한다. 여기서 $|F|$는 집합의 크기를 뜻한다.

만약 $E$가 단일 연결 공간이라면, $(E,F,\pi )$를 범피복 공간(凡被覆空間, 틀:Llang)이라 한다.

피복 공간의 사상(틀:Llang)은 올다발 사상과 같다. 즉, $B$ 위의 두 피복 공간 $(F,E,\pi )$ 및 $(F^{\prime },E^{\prime },{\pi }^{\prime })$ 사이의 사상은 다음 그림을 가환하게 만드는 연속 함수 $f:E\to E^{\prime }$이다.

$\begin{array}{ccc}E& \stackrel{f}{\to }& E^{\prime }\\ \pi \downarrow & & \downarrow {\pi }^{\prime }\\ B& \underset{\mathrm{id}}{\overset{}{\to }}& B\end{array}$

이에 따라, 주어진 위상 공간 $B$ 위의 피복 공간들은 범주 $\mathrm{TopCov}(B)$를 이룬다. 피복 공간의 자기 동형은 피복 변환(被覆變換, 틀:Llang)이라고 한다. 이들이 이루는 군은 피복 변환군(被覆變換群, 틀:Llang)이라고 한다.

성질

피복 공간 $(F,E,B,\pi )$의 사영 함수 $\pi$는 항상 열린 함수이다.

다양체의 가산 피복 공간은 역시 피복 공간이다. 리 군의 범피복 공간은 리 군을 이루며, 이를 범피복군(凡被覆群, 틀:Llang)이라고 한다.

분류

연결 공간의 경우

점을 가진 공간 $(B,{\bullet }_B)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자가 존재한다.

$F:\mathrm{Cov}(B)\to {\mathrm{Set}}_{{\pi }_1(B,{\bullet }_B)}$

여기서 $\mathrm{Cov}(B)$는 $B$의 피복 공간들의 범주이며, ${\mathrm{Set}}_{{\pi }_1(B,{\bullet }_B)}$는 기본군 ${\pi }_1(B,{\bullet }_B)$의 작용을 갖춘 집합의 범주이다. 이 함자는 구체적으로 다음과 같다.

$F:(\pi :E\twoheadrightarrow B)\mapsto {\pi }^{-1}({\bullet }_B)$

기본군 ${\pi }_1(B,{\bullet }_B)$의 ${\pi }^{-1}({\bullet }_B)$ 위의 작용은 호모토피 올림 성질에 의하여 주어진다.

또한, 만약 $B$가 연결 국소 경로 연결 반국소 단일 연결 공간이라면 이는 범주의 동치를 이룬다.

연결 공간이 아닌 경우

연결 공간이 아닐 수 있는 경우, 범주의 동치를 얻으려면 기본군 대신 기본 준군을 사용하여야 한다.

두 준군 $E$, $B$ 사이의 피복 사상 $\pi :E\to B$을, 다음과 같은 호모토피 올림 성질(틀:Llang)을 만족시키는 준군 사상으로 정의하자.

• 임의의 $E$의 대상 $\tilde{x}\in \mathrm{Ob}(E)$ 및 $B$의 사상 $g:p(x)\to y$에 대하여, $\pi (\tilde{y})=y$이며 $\pi (\tilde{g})=g$인 대상 $\tilde{e}\in \mathrm{Ob}(E)$ 및 사상 $\tilde{g}:\tilde{x}\to \tilde{y}$가 유일하게 존재한다.

$\begin{array}{c}\tilde{x}\stackrel{\mathrm{\exists }!\tilde{g}}{\to }\mathrm{\exists }!\tilde{y}\\ \Downarrow \pi \\ \pi (\tilde{x})\stackrel{g}{\to }y\end{array}$

$B$가 국소 경로 연결 반국소 단일 연결 공간이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.틀:Rp

$\mathrm{Cov}(B)\simeq \mathrm{GpdCov}({\mathrm{\Pi }}_{1}B)$

여기서

• ${\mathrm{\Pi }}_{1}B$는 $B$의 기본 준군이다.
• $\mathrm{GpdCov}({\mathrm{\Pi }}_{1}B)$는 ${\mathrm{\Pi }}_{1}B$ 위의 준군 피복 사상들의 범주이다.

특히, 다음이 성립한다.

• $B$ 위의 피복 공간(들의 동치류)들은 기본군 ${\mathrm{\Pi }}_1(B)$의 부분군들의 켤레 동치류들과 일대일 대응한다.
• $B$의 범피복 공간이 존재하며, (동치 아래) 유일하다.

역사

피복 공간의 개념은 베른하르트 리만이 복소함수의 모노드로미를 리만 곡면으로 다루면서 발생하였다.틀:Rp 이에 대하여 장 디외도네는 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2 이후 앙리 푸앵카레는 1883년에 리만 곡면의 범피복 공간에 대하여 서술하였다.틀:Rp

1932년에 헤르베르트 자이페르트는 올다발의 개념을 공리적으로 정의하면서, 이에 대한 특수한 경우로 "피복 공간"(틀:Llang)의 개념을 정의하였다.틀:Rp 여기서 자이페르트는 피복 변환을 틀:Llang 또는 틀:Llang이라고 표현하였다.틀:Rp 이는 틀:Llang (피복) + 틀:Llang (운동) 또는 틀:Llang (변환)에서 유래하였다. 이후 이를 영어로 번역하는 과정에서, 독일어 용어가 틀:Llang으로 오역되게 되었다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용

같이 보기

• 기본군
• 모노드로미