원분 다항식

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 수론에서, 원분 다항식(圓分多項式, 틀:Llang)은 1의 거듭제곱근을 근으로 하는 정수 계수 일계수 기약 다항식이다.

정의

양의 정수 $n$에 대하여, $n$번째 원분 다항식

${\mathrm{\Phi }}_n\in \mathbb{Z}[x]$

은 다음과 같다.

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Phi }}_n(x)& =\prod _{1\le k\le n}^{\gcd \{k,n\}=1}(x-\exp (2\pi ik/n))\\ & =\prod _{1\le d\le n}^{d\mid n}(x^d-1{)}^{\mu (n/d)}\\ & =(x^n-1)\prod _{1\le d<n}^{d\mid n}\frac{1}{{\mathrm{\Phi }}_d(x)}\end{array}$

첫째 정의에서, $\gcd \{k,n\}=1$은 $k$와 $n$이 서로소라는 조건이며, 이 경우 $\exp (2\pi ik/n)$는 모든 1의 원시 $n$제곱근에 해당한다. ($\exp (2\pi ik/n)$은 흔히 $e^{2\pi ik/n}$으로 쓴다.) 이 정의에 따라, ${\mathrm{\Phi }}_n(x)$는 1의 원시 $n$제곱근들을 근으로 갖는 일계수 다항식이며, $\varphi (n)$차 다항식이다 ($\varphi$는 오일러 피 함수). 둘째 정의에서, $\mu$는 뫼비우스 함수이다. 셋째 정의는 재귀적이며, 이를 통해 ${\mathrm{\Phi }}_n(x)$가 정수 계수 다항식임을 쉽게 알 수 있다. ${\mathrm{\Phi }}_n(x)$가 기약 다항식임은 세 정의로부터 자명하지 않다. ${\mathrm{\Phi }}_n(x)$이 $\exp (2\pi i/n)$의 $\mathbb{Q}$에 대한 최소 다항식이라는 사실은 원분 다항식의 정의로 삼을 수 있다.

성질

다음 성질들이 성립한다.

• ${\mathrm{\Phi }}_n(x)$는 $\mathbb{Q}[x]$의 기약 다항식이다. 물론, ${\mathrm{\Phi }}_n$은 일계수 다항식이므로 원시 다항식이며, 따라서 $\mathbb{Z}[x]$의 기약원이기도 하다.
• ${\mathrm{\Phi }}_n(x)$의 차수는 $\varphi (n)$이며, 특히 $n\ge 3$일 때 짝수이다.

  $\mathrm{deg}{\mathrm{\Phi }}_n=\varphi (n)$

• 모든 1의 $n$제곱근은 어떤 유일한 $n$의 (양의) 약수에 대한 원시 제곱근이므로, 다음 항등식이 성립한다.

  $x^n-1=\prod _{d\mid n}{\mathrm{\Phi }}_d(x)$

• 이에 대한 뫼비우스 반전 공식은 다음과 같다.

  ${\mathrm{\Phi }}_n(x)=\prod _{d\mid n}(x^d-1{)}^{\mu (n/d)}$

• $n^{\prime }=\prod _{p\mid n}p$가 $n$의 제곱 인수가 없는 약수 가운데 가장 큰 하나일 때, 다음이 성립한다. 이에 따라, 원분 다항식의 계산은 제곱 인수가 없는 지표의 경우로 귀결된다.

  ${\mathrm{\Phi }}_n(x)={\mathrm{\Phi }}_{n^{\prime }}(x^{n/n^{\prime }})$

계수

원분 다항식의 계수에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

• 모든 정수는 어떤 원분 다항식의 계수이다. 특히, (낮은 차수에서와 달리) 원분 다항식의 계수는 $\{-1,0,1\}$로 이루어질 필요가 없다.
• $n\ge 2$에 대하여, ${\mathrm{\Phi }}_n(x)$의 계수들은 “회문”을 이룬다 ($a_0=a_{\varphi (n)}=1,a_1=a_{\varphi (n)-1},\dots$).
• $n\ge 3$에 대하여, ${\mathrm{\Phi }}_n(x)$의 가운데 항 계수(즉, $n/2$차항 계수)는 0이거나 ($n\in \{2^2,2^3,\dots \}$) 홀수이다 ($n\in ̸\{2^2,2^3,\dots \}$).

값

원분 다항식의 특정 수에서의 값들은 다음과 같다.

${\mathrm{\Phi }}_n(0)=1$

${\mathrm{\Phi }}_n(1)=\{\begin{array}{cc}0& n=1\\ p& \mathrm{\exists }p\in \{2,3,5,7,11,\dots \}:n\in \{p,p^2,p^3,\dots \}\\ 1& n\ne 1\wedge \mathrm{\exists }p\in \{2,3,5,7,11,\dots \}:n\in \{p,p^2,p^3,\dots \}\end{array}$

${\mathrm{\Phi }}_n(-1)=\{\begin{array}{cc}-2& n=1\\ 0& n=2\\ 1& n\in \{3,5,7,9,\dots \}\\ -n& n\in \{4,6,8,10,\dots \}\end{array}$

예

작은 지표

처음 몇 원분 다항식은 다음과 같다.

${\mathrm{\Phi }}_1(x)=x-1$

${\mathrm{\Phi }}_2(x)=x+1$

${\mathrm{\Phi }}_3(x)=x^2+x+1$

${\mathrm{\Phi }}_4(x)=x^2+1$

${\mathrm{\Phi }}_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$

${\mathrm{\Phi }}_6(x)=x^2-x+1$

${\mathrm{\Phi }}_7(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

${\mathrm{\Phi }}_8(x)=x^4+1$

${\mathrm{\Phi }}_9(x)=x^6+x^3+1$

${\mathrm{\Phi }}_{10}(x)=x^4-x^3+x^2-x+1$

${\mathrm{\Phi }}_{11}(x)=x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

${\mathrm{\Phi }}_{12}(x)=x^4-x^2+1$

${\mathrm{\Phi }}_{13}(x)=x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$

${\mathrm{\Phi }}_{14}(x)=x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1$

${\mathrm{\Phi }}_{15}(x)=x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1$

원분 다항식의 계수가 $\{-1,0,1\}$에 속할 필요는 없다. 예를 들어, 105번째 원분 다항식 ${\mathrm{\Phi }}_{105}(x)$의 7차항은 $-2x^7$이다. 이는 처음 오는 반례이며, $105=3\times 5\times 7$은 서로 다른 세 소수의 곱이다.

Φ_p

소수 $p$에 대하여,

${\mathrm{\Phi }}_p(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+\cdots +x+1$

이다. ${\mathrm{\Phi }}_p(x)$가 기약 다항식임을 보이는 것은 아이젠슈타인 판정법에 따라 더 쉽다.

Φ_pq

임의의 두 소수 $p<q$에 대하여,

$(p-1)(q-1)=r(p,q)p+s(p,q)q$

인 유일한 음이 아닌 정수 $r(p,q),s(p,q)$가 존재한다.

두 소수 $p<q$에 대하여,

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Phi }}_{pq}(x)& =\frac{{\mathrm{\Phi }}_p(x^p)}{{\mathrm{\Phi }}_p(x)}\\ & =\frac{(x^{pq}-1)(x-1)}{(x^p-1)(x^q-1)}\\ & =\left(\sum _{i=0}^{r(p,q)}{x}^{ip}\right)\left(\sum _{j=0}^{s(p,q)}{x}^{jq}\right)-x^{-pq}\left(\sum _{i=r(p,q)+1}^{q-1}{x}^{ip}\right)\left(\sum _{j=s(p,q)+1}^{q-1}{x}^{jq}\right)\end{array}$

이다. 특히, ${\mathrm{\Phi }}_{pq}(x)$는 $\varphi (pq)=(p-1)(q-1)$차 다항식이며, 계수는 $\{-1,0,1\}$로 이루어지며, 계수 1의 항이 계수 −1의 항보다 하나 더 많다 (${\mathrm{\Phi }}_{pq}(1)=1$). 또한, ${\mathrm{\Phi }}_{pq}(x)$의 가운데 항 계수($(p-1)(q-1)/2$차항 계수)는 $(-1{)}^{r(p,q)}$이다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:수학노트
• 틀:수학노트
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:플래닛매스
• 틀:플래닛매스
• 틀:Proofwiki

같이 보기

• 원분체