대각화 가능 행렬

틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학에서 대각화 가능 행렬(對角化可能行列, 틀:Llang)은 적절한 가역 행렬로의 켤레를 취하여 대각 행렬로 만들 수 있는 정사각 행렬이다.

정의

환 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \mathrm{Mat}(n;K)$이 다음 조건을 만족시킨다면, 대각화 가능 행렬이라고 한다.

• $G^{-1}MG$이 대각 행렬이 되는 가역 행렬 $G\in \mathrm{Unit}(\mathrm{Mat}(n;K))$이 존재한다.

성질

연산에 대한 닫힘

환 $K$ 위의 정사각 행렬 $M\in \mathrm{Mat}(n;K)$이 대각화 가능 행렬이라면, 임의의 자연수 $k\in \mathbb{N}$에 대하여 $M^k\in \mathrm{Mat}(n;K)$ 역시 대각화 가능 행렬이다.

증명:

만약 $G\in \mathrm{Unit}(\mathrm{Mat}(n;K))$에 대하여 $G^{-1}MG=\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_n)$가 대각 행렬이라고 하자. 그렇다면,

$\mathrm{diag}(a_1^k,\dots ,a_n^k)=\mathrm{diag}(a_1,\dots ,a_n{)}^k=(G^{-1}MG{)}^k=G^{-1}{M}^{k}G$

이다.

또한, 만약 추가로 $K$가 대수적으로 닫힌 체이며 $M$이 가역 행렬이라면, 임의의 정수 $k\in \mathbb{Z}$에 대하여 $M^k\in \mathrm{Mat}(n;K)$ 역시 대각화 가능 행렬이다.

그러나 대각화 가능 행렬의 합이나 곱은 (심지어 복소수체 위에서도) 일반적으로 대각화 가능 행렬이 아니다.

필요 조건과 충분 조건

체 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \mathrm{Mat}(n;K)$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $M$은 대각화 가능 행렬이다.
• $M$의 고유 공간들의 차원들의 합이 $n$이다.
• $p(M)=0$이 되는 최소차 일계수 다항식 $p\in K[x]$의 차수가 $k$라고 할 때, $p$는 $k$개의 서로 다른 (중복되지 않는) 근들을 갖는다.

체 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \mathrm{Mat}(n;K)$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 행렬은 대각화 가능 행렬이다.

• 고유 다항식 ${\chi }_M(x)=\det (x-M)\in K[x]$은 $n$개의 서로 다른 (중복되지 않는) 근을 갖는다.

이는 충분 조건이지만, 필요 조건이 아니다.

대각화 가능 행렬의 밀도

복소수체 위에서, 대각화 가능 행렬들의 부분 공간은 $n^2$차원 아핀 공간 $\mathrm{Mat}(n;ℂ)$의 부분 공간을 이루며, 그 여집합은 영집합이다 (그 르베그 측도가 0이다). 즉, 거의 모든 복소수 정사각 행렬은 대각화 가능 행렬이다.

반면, 실수체 위에서, 만약 $n\ge 2$일 경우 이는 더 이상 성립하지 않는다.

동시 대각화

환 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬들의 족 $ℳ\subseteq \mathrm{Mat}(n;K)$이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 $G\in \mathrm{Unit}(\mathrm{Mat}(n;K))$이 존재한다면, $ℳ$을 동시 대각화 가능 행렬족(同時對角化可能行列族, 틀:Llang)이라고 한다.

• 임의의 $M\in ℳ$에 대하여, $G^{-1}MG$는 대각 행렬이다.

체 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬들의 족 $ℳ\subseteq \mathrm{Mat}(n;K)$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.틀:Rp

• $ℳ$은 동시 대각화 가능 행렬족이다.
• $M$의 모든 원소는 대각화 가능 행렬이며, $ℳ$은 가환 행렬족이다 (즉, 임의의 $M,N\in ℳ$에 대하여 $MN=NM$).

예

모든 대각 행렬은 대각화 가능 행렬이다. 특히, 모든 1×1 행렬은 자명하게 대각화 가능 행렬이다.

대각화 불가능 행렬

임의의 체 $K$에서, 행렬

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\in \mathrm{Mat}(2;K)$

은 대각화될 수 없다. 이 행렬의 고윳값은 0 밖에 없으며, 그 고유 공간은 1차원이다.

다음과 같은 행렬을 생각하자.

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\in \mathrm{Mat}(2;K)$

$K$가 체일 때, 이 행렬이 대각화 가능 행렬이 될 필요 충분 조건은 다음과 같다.

• $K$에서 $-1$이 두 개의 제곱근을 갖는다.

즉, 만약 $K$의 표수가 2가 아니며, $-1$의 제곱근 $\mathrm{i}\in K$가 존재할 경우 이 행렬은 두 고윳값 $\pm \mathrm{i}$을 가지며, 따라서 대각화 가능 행렬이다. 만약 $K$에서 $-1$이 제곱수가 아닐 경우, 이 행렬은 고윳값을 갖지 않으며, 따라서 대각화 가능 행렬이 아니다. 만약 $K$의 표수가 2일 경우, $-1=1$은 하나의 제곱근만을 가지며, 이 행렬은 하나의 고윳값 (1)을 가지며, 그 고유 공간은 1차원이므로, 따라서 이 행렬은 대각화 가능 행렬이 아니다.

대각화의 예

임의의 환 $K$에서, 다음과 같은 행렬을 생각하자.

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 3& 0\\ 2& -4& 2\end{array}\right)\in \mathrm{Mat}(3;K)$

이는 세 개의 고윳값

${\lambda }_1=3,{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=1$

을 가져, 대각화 가능 행렬을 이룬다.

각 고윳값의 고유 벡터는 다음과 같다.

$v_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 2\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right),v_3=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$

따라서,

$P=\left(\begin{array}{ccc}{v}_1& v_2& v_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& -1\\ -1& 0& 0\\ 2& 1& 2\end{array}\right)$

$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 2& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$

를 정의하면,

$P^{-1}MP=\mathrm{diag}(3,2,1)$

이 된다.

같이 보기

• 삼각행렬
• 조르당 표준형

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:매스월드