일계수 다항식

틀:위키데이터 속성 추적 대수학에서 일계수 다항식(一係數多項式, 틀:Llang)은 최고차 항의 계수가 1인 다항식이다. 이들의 집합은 곱셈에 대하여 모노이드를 이루며, 인자(因子) 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다.

정의

가환환 $K$ 계수의 다항식환 $K [x]$ 의 원소

p = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} \in K [x] (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n} \in K)

를 생각하자. 만약 $a_{n} = 1$ 이라면, 다항식 $p$ 를 일계수 다항식이라고 한다.

예외적으로, 다항식 $p = 0$ 은 일계수 다항식으로 간주하지 않는다.

일계수 다항식들의 부분 집합을 $Monic (K [x])$ 로 표기하자.

유한 개의 일계수 다항식들의 곱은 일계수 다항식이다. 즉, 가환환 $K$ 계수의 다항식환 $K [x]$ 속에서, 일계수 다항식들의 집합 $Monic (K [x]) \subseteq K [x]$ 은 곱셈에 대한 가환 모노이드를 이룬다.

반면, 일계수 다항식들은 일반적으로 덧셈에 대하여 닫혀 있지 않다.

가환환 $K$ 에 대하여, $(Monic (K [x]), ∣)$ 는 다음과 같이 부분 순서 집합을 이룬다. 여기서 $p ∣ q$ 는

q (x) = p (x) r (x)

가 되는 다항식 $r \in K [x]$ 이 존재함을 뜻한다.

(반면, 일계수 다항식 조건을 생략한다면, $(K [x], ∣)$ 는 일반적으로 원순서 집합이지만 부분 순서 집합이 아닐 수 있다. 예를 들어, 임의의 가역원 $a \in K^{\times}$ 에 대하여 $1 ∣ a ∣ 1$ 이지만 $1 \neq a$ 일 수 있다.)