주 아이디얼 정역

틀:위키데이터 속성 추적 틀:대수 구조 가환대수학에서 주 아이디얼 정역(主ideal整域, 틀:Llang, 약자 PID)은 모든 아이디얼이 하나의 원소로 생성되는 정역이다.

정의

주 아이디얼 환

주 오른쪽 아이디얼 환(틀:Llang)은 모든 오른쪽 아이디얼이 주 오른쪽 아이디얼(즉, $r \in R$ 에 대하여 $r R$ 의 꼴)인 환이다. 주 왼쪽 아이디얼 환(틀:Llang)은 모든 왼쪽 아이디얼이 주 왼쪽 아이디얼(즉, $r \in R$ 에 대하여 $R r$ 의 꼴)인 환이다. 가환환의 경우 이 두 개념이 일치하며, 주 아이디얼 가환환(틀:Llang)이라고 한다.

주 아이디얼 정역

정역 $D$ 에 대하여 다음 조건들을 정의하자.

(B) 베주 정역이다. 즉, 모든 유한 생성 아이디얼은 주 아이디얼이다.
(D) 데데킨트 정역이다.
(UFD) 유일 인수 분해 정역이다.
(N) 뇌터 환이다.

정역 $D$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 주 아이디얼 정역이라고 한다.

주 아이디얼 환이다.
모든 소 아이디얼이 주 아이디얼이다.
(N) + 모든 극대 아이디얼이 주 아이디얼이다.^[1]틀:Rp
(UFD) + (D)^[2]틀:Rp
(UFD) + (B)
(UFD) + 크룰 차원이 1 이하이다.^[3]틀:Rp
(UFD) + 모든 아이디얼이 평탄 가군이다.^[2]틀:Rp
(UFD) + 모든 꼬임 없는 가군(틀:Llang)은 평탄 가군이다.^[2]틀:Rp
(B) + (N)
(B) + 주 아이디얼들의 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건을 만족시킨다.
적어도 하나 이상의 데데킨트-하세 노름을 갖는다.
(D) + 피카르 군이 자명군이다.^[2]틀:Rp
모든 아이디얼이 자유 가군이다.^[4]틀:Rp
자유 가군의 부분 가군은 자유 가군이다.^[3]틀:Rp

가환환 $R$ 위의 데데킨트-하세 노름(틀:Llang) $f : R ∖ {0} \to ℕ$ 은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

임의의 $r, s \in R ∖ {0}$ 에 대하여, $r ∣ s$ 이거나 아니면 $f (r) < f (t)$ 인 $t \in (r, s)$ 가 존재한다. (여기서 $(r, s) = r R + s R$ 는 $r$ 와 $s$ 로 생성되는 아이디얼이다.)

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

주 아이디얼 정역의 임의의 두 원소 $a, b$ 에 대해, 이 둘로 생성되는 아이디얼 $(a, b)$ 의 생성원은 a와 b의 최대공약수가 된다.

모든 주 아이디얼 정역은 뇌터 환이며, 정수적으로 닫힌 정역이다.

모든 환에서 임의의 극대 아이디얼은 소 아이디얼인데, 주 아이디얼 정역에서는 그 역이 '거의' 성립한다. 즉, 모든 0이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 기하학적으로, 이는 크룰 차원이 1이하라는 것을 뜻한다. 보다 일반적으로, 이 조건은 데데킨트 정역에서도 성립한다.

주 아이디얼 정역 위의 가군

주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군은 항상 극소 생성 집합을 갖는다. 이는 체 상의 유한 차원 벡터 공간이 기저를 갖는다는 사실의 일반화이다.

주 아이디얼 정역 $R$ 위의 임의의 유한 생성 가군 $M$ 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

M ≅ ⨁_{i} R / (q_{i})

여기서 $(q_{i})$ 는 $R$ 의 으뜸 아이디얼이다. 이를 $M$ 의 으뜸 분해(틀:Llang)라고 하며, 유일하다.

주 아이디얼 정역 $R$ 위의 임의의 유한 생성 가군 $M$ 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

M ≅ ⨁_{i = 1}^{n} R / (d_{i})

R^{\times} ∌ d_{1} ∣ d_{2} ∣ \dots ∣ d_{n}

여기서 $(d_{i})$ 는 $R$ 의 아이디얼들이며, 유일하다. 이를 $M$ 의 불변 인자 분해(틀:Llang)라고 한다.

분류

자리스키-사뮈엘 정리(틀:Llang)에 따르면, 모든 주 아이디얼 가환환 $R$ 는 다음과 같은 꼴의 유한 직접곱으로 나타낼 수 있다.^[5]틀:Rp

R = \prod_{i = 1}^{n} R_{i}

여기서

각 $R_{i}$ 는 주 아이디얼 정역이거나 아니면 아르틴 국소 주 아이디얼 가환환이다.

헝거퍼드 정리(틀:Llang)에 따르면, 모든 아르틴 국소 주 아이디얼 가환환 $R$ 는 이산 값매김환의 몫환이다.^[6]

예

임의의 체는 주 아이디얼 정역이다.
정수환 $ℤ$ 는 주 아이디얼 정역이다.
가우스 정수환 $ℤ [i]$ 와 아이젠슈타인 정수환 $ℤ [\exp (2 π i / 3)]$ 는 주 아이디얼 정역이다.
$K$ 가 체일 때, $K$ 위의 일변수 다항식환 $K [x]$ 는 주 아이디얼 정역이다.

반례

정수 계수 다항식환 $ℤ [x]$ 는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼 $(2, x)$ 가 주 아이디얼이 아니기 때문이다. 체 $K$ 에 대하여, $K [x, y]$ 는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼 $(x, y)$ 가 주 아이디얼이 아니기 때문이다.

가환환

ℤ [\frac{1 + \sqrt{- 19}}{2}]

는 주 아이디얼 정역이지만 유클리드 정역이 아니다.^[7]

$K$ 가 임의의 체일 때, 다항식환 $K [x, y]$ 는 유일 인수 분해 정역이지만 주 아이디얼 정역이 아니다. 예를 들어, $(x, y)$ 는 주 아이디얼이 아니다.

주 오른쪽 아이디얼 영역이 아닌 주 왼쪽 아이디얼 영역

나눗셈환 $K$ 위의 $σ : K \to K$ 가 자기 준동형이지만 자기 동형이 아니라고 하자. 그렇다면 힐베르트 뒤틀린 다항식환(틀:Llang)^[8]틀:Rp

K [x; σ] = {a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n} : n \in ℕ, a_{i} \in K}

x a = σ (a) x \forall a \in K

는 다음 성질들을 만족시킨다.^[8]틀:Rp

주 왼쪽 아이디얼 환이다. (따라서 왼쪽 뇌터 환이다.)
영역이다.
가환환이 아니다.
오른쪽 뇌터 환이 아니다. (따라서 주 오른쪽 아이디얼 환이 아니다.)

따라서, 영역의 경우에도 주 왼쪽/오른쪽 아이디얼 환 조건이 서로 다르다.

역사

1949년에 토머스 모츠킨(틀:Llang)이 유클리드 정역이 아닌 주 아이디얼 정역의 예를 최초로 제시하였다.^[9]

자리스키-사뮈엘 정리는 1958년에 오스카 자리스키와 피에르 사뮈엘(틀:Llang)이 증명하였다.^[5]틀:Rp

헝거퍼드 정리는 1968년에 토머스 윌리엄 헝거퍼드(틀:Llang)가 증명하였다.^[6]

같이 보기

베주 항등식

각주

틀:각주

외부 링크

[1] 틀:저널 인용

[Lam-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 틀:서적 인용

[Rotman-3] 3.0 ^3.1 틀:서적 인용

[4] 틀:서적 인용

[ZS-5] 5.0 ^5.1 틀:서적 인용

[Hungerford-6] 6.0 ^6.1 틀:저널 인용

[7] 틀:저널 인용

[Lam01-8] 8.0 ^8.1 틀:서적 인용

[9] 틀:저널 인용

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

주 아이디얼 정역

목차

정의

주 아이디얼 환

주 아이디얼 정역

성질

주 아이디얼 정역 위의 가군

분류

예

반례

주 오른쪽 아이디얼 영역이 아닌 주 왼쪽 아이디얼 영역

역사

같이 보기

각주

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주 아이디얼 정역

정의

주 아이디얼 환

주 아이디얼 정역

성질

주 아이디얼 정역 위의 가군

분류

예

반례

주 오른쪽 아이디얼 영역이 아닌 주 왼쪽 아이디얼 영역

역사

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