분해 가능 확대

틀:위키데이터 속성 추적 체론에서 분해 가능 확대(分解可能擴大, 틀:Llang) 또는 분리 가능 확대(分離可能擴大)는 최소 다항식의 근들이 겹치지 않는 대수적 확대이다.

정의

체 $K$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 기약 다항식 $p\in K[x]$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기약 다항식을 분해 가능 다항식(分解可能多項式, 틀:Llang)이라고 한다.

• 모든 체의 확대 $L/K$ 및 $a\in L$에 대하여, $L[x]$ 속에서 $(x-a{)}^2\nmid p(x)$이다.
• $|\{a\in L:p(a)=0\}|=\mathrm{deg}p$인 체의 확대 $L/K$가 존재한다.
• 모든 체의 확대 $L/K$ 및 $a\in L$에 대하여, $p(a)=0=p^{\prime }(a)$임은 불가능하다.
• 형식적 도함수 $p^{\prime }\in K[x]$에 대하여, $dp/dx\ne 0$이다.

최소 다항식은 항상 기약 다항식이다. 대수적 확대 $L/K$에 대하여, 만약 모든 $a\in L$에 대하여 그 최소 다항식 $p_a(x)\in K[x]$이 분해 가능 다항식이라면 $L/K$를 분해 가능 확대라고 한다.

체 $K$에 대하여, 그 대수적 폐포 $\overline{K}$ 속에서, $K$에 대하여 최소 다항식이 분해 가능한 원소들의 집합 $K^{\mathrm{sep}}$은 $\overline{K}$의 부분체를 이루며, 이를 $K$의 분해 가능 폐포(分解可能閉包, 틀:Llang)라고 한다. $K$의 분해 가능 폐포는 (동형을 무시하면) 유일하다. (다만, 대수적 폐포는 표준적이지 않으므로, 서로 다른 두 분해 가능 폐포 사이의 동형은 표준적이지 않다.) $K$의 분해 가능 확대는 $K$의 최대 갈루아 확대이다.

대수적 확대 $L/K$에 대하여, 만약 모든 $a\in L\setminus K$에 대하여 그 최소 다항식 $p_a(x)\in K[x]$이 분해 가능 다항식이 아니라면 $L/K$를 완전 비분해 확대(完全非分解擴大, 틀:Llang)라고 한다.

성질

임의의 체 $K$에 대하여, $K^{\mathrm{sep}}/K$는 분해 가능 확대이며, $\overline{K}/K^{\mathrm{sep}}$은 완전 비분해 확대이다. 임의의 대수적 확대 $L/K$에 대하여, $(L\cap K^{\mathrm{sep}})/K$는 분해 가능 확대이며, $L/(L\cap K^{\mathrm{sep}})$은 완전 비분해 확대이다. 임의의 정규 확대 $L/K$에 대하여, $K^{\mathrm{Aut}(L/K)}/K$는 완전 비분해 확대이며, $L/K^{\mathrm{Aut}(L/K)}$는 갈루아 확대이다. 또한 $L$은 $(L\cap K^{\mathrm{sep}})$와 $K^{\mathrm{Aut}(L/K)}/K$의 합성체이며, $K$는 둘의 교집합이다. 여기서,

$K^{\mathrm{Aut}(L/K)}=\{a\in L:\mathrm{\forall }\sigma \in \mathrm{Aut}(L/K):\sigma (a)=a\}$

는 $L/K$의 모든 자기 동형 사상에 대한 고정점의 집합이다.

유한 확대 $L/K$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 분해 가능 확대이다.
• 체 대각합 ${\mathrm{T}}_{L/K}:L\to K$는 전사 함수이다.
• ${\mathrm{T}}_{L/K}\ne 0$

예

완전체의 대수적 확대는 항상 분해 가능 확대이다. 즉, 분해 불가능 확대는 양의 표수에서만 존재하는 현상이다.

대수적 확대

${𝔽}_p(t)/{𝔽}_p(t^p)$

는 정규 확대이지만 분해 가능 확대가 아니다. $t\in {𝔽}_p(t)$의 최소 다항식은

$x^p-t^p\in {𝔽}_p(t^p)[x]$

인데, ${𝔽}_p(t)[x]$에서 이는

$x^p-t^p=(x-t{)}^p\in {𝔽}_p(t)[x]$

와 같이 인수분해되므로 분해 가능하지 않다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용