지수 함수

지수 함수 $y=\exp x$의 그래프

지수 함수(指數函數, 틀:Llang)란 거듭제곱의 지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수이다. 로그 함수의 역함수이다.

정의

거듭제곱을 통한 정의

지수 함수는 거듭제곱을 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 거듭제곱 $a^b$를 다음과 같이 정의하자.

• $b$가 음이 아닌 정수일 때,

  $a^b=\underset{b}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}$

• $b$가 음의 정수일 때,

  $a^b=\frac{1}{a^{-b}}$

• $b=m/n$가 유리수이며, $m$과 $n$이 서로소이며, $a>0$일 때,

  $a^b=\sqrt[n]{a^m}$

• $b$가 실수이며, $a>0$일 때,

  $a^b=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{c\in \mathbb{Q}}{c<b}}{\sup }{a}^c$

이제 지수 함수를 정의하자. 1이 아닌 양의 실수

$a>0$

$a\ne 1$

를 밑으로 하는 지수 함수 $f_a:ℝ\to {ℝ}^{+}$는 다음과 같다.

$f_a(x)=a^x(x\in ℝ)$

여기서 우변은 밑이 $a$, 지수가 $x$인 거듭제곱이다. 즉, 지수 함수는 밑이 고정된 채 변화하는 지수에 대한 거듭제곱을 구하는 함수이다.

함수

$\exp :ℝ\to {ℝ}^{+}$

는 자연로그의 밑

$\mathrm{e}=2.71828\cdots$

을 밑으로 하는 지수 함수

$\exp x={\mathrm{e}}^x$

를 나타낸다. 지수 함수는 흔히 이 특수한 지수 함수만을 일컫는다. 또한, 이를 사용하여 일반적인 밑의 지수 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$a^x={\mathrm{e}}^{x\ln a}$

여기서 $\ln$은 자연로그이다. 물론, 다른 특수한 밑부터 시작하여 일반적인 지수 함수에 이를 수도 있다. 하지만 다른 밑에 대한 지수 함수의 직접적인 정의는 상대적으로 더 복잡하다.

극한을 통한 정의

지수 함수 $\exp :ℝ\to {ℝ}^{+}$는 다음과 같다.

$\exp x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n$

우변은 수열의 극한이다. 수열

${(1+\frac{x}{n})}^n$

은 유계 수열이며, $x>0$인 경우 순증가, $x<0$인 경우 순감소한다. 이는 보통 이항 정리를 사용하여 증명하며, 산술-기하 부등식을 통한 증명도 존재한다. 단조 수렴 정리에 따라, 이 수열은 수렴한다.

일반적인 밑

$a>0$

$a\ne 1$

에 대한 지수 함수는 다음과 같다.

$a^x=\exp (x\ln a)$

특히,

${\mathrm{e}}^x=\exp (x\ln \mathrm{e})=\exp x$

이다.

멱급수를 통한 정의

지수 함수 $\exp :ℝ\to {ℝ}^{+}$는 다음과 같다.

$\begin{array}{cc}\exp x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}\\ & =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \end{array}$

우변은 지수 함수의 테일러 급수이다. 이 급수가 모든 $x$에 대하여 수렴함은 이를테면 비 판정법 또는 코시-아다마르 정리를 사용하여 보일 수 있다. 다른 정의를 사용하는 경우, 우변의 멱급수가 테일러 급수임은 이를테면 라그랑주 나머지 항에 대한 테일러 정리를 사용하여 보일 수 있다.

일반적인 밑

$a>0$

$a\ne 1$

에 대한 지수 함수는 다음과 같다.

$a^x=\exp (x\ln a)$

특히,

${\mathrm{e}}^x=\exp (x\ln \mathrm{e})=\exp x$

이다.

로그 함수의 역함수로서의 정의

로그 함수를 정적분을 이용하여 정의할 경우, 지수 함수를 로그 함수의 역함수로 정의할 수 있다.

자연로그를 다음과 같이 정의하자.

$\ln x=\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{t}dt$

이때 $y=\ln x$는 강한 증가 함수이며 치역이 실수 전체이므로 역함수가 존재한다. 이때의 역함수를 $y=\exp (x)$라고 표기한다.

이 함수의 도함수는 역함수의 미분에 의하여

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\frac{1}{y}}=y$

즉, $\frac{d}{dx}\exp (x)=\exp (x)$이다. 또한, $\ln 1=0$ 이므로, $\exp (0)=1$이다.

그리고 로그함수와의 역함수 관계를 이용하여 다음 등식이 성립함을 간단히 보일 수 있다.

$\exp (a+b)=\exp (a)\cdot \exp (b)$

$\exp (a)=p,\exp (b)=q$로 놓으면

$a=\ln p,b=\ln q$이므로 로그의 성질에 의하여 $a+b=\ln p+\ln q=\ln pq$

따라서 $\exp (a+b)=pq=\exp (a)\cdot \exp (b)$가 성립한다.

로그함수 $y=\ln x$는 정의역 전체에서 연속 함수이므로 중간값 정리에 의하여 방정식 $\ln x=1$를 만족하는 해 $x$가 존재하며, 단사함수이므로 실수 $x$는 단 한개만 존재한다. 방정식 $\ln x=1$의 해를 $x=e$라 하자.

$\therefore \ln e=1,\exp (1)=e$

이제 $\exp (x)=e^x$로 놓고 이것을 지수함수로 정의한다.

수학적 귀납법을 이용하면 $x$가 자연수일 때 $\exp (x)=\underset{x}{\underbrace{e\times e\times e\times \cdots e}}$임을 보일 수 있다.

이제 일반적인 밑을 가진 지수를 $a^x=e^{x\ln a}$ $(a>0)$로 정의하자.

마찬가지로 수학적 귀납법을 이용하여 자연수 $x$에 대하여 $a^x=\underset{x}{\underbrace{a\times a\times a\times \cdots a}}$임을 보일 수 있다.

증명은 다음과 같다.

1에 대하여 성립

$a^1=e^{\ln a}=a$

$n$에 대하여 성립한다는 가정 아래, $n+1$에 대하여 성립

$a^n=\underset{n}{\underbrace{a\times a\times a\times \cdots a}}$

양변에 a를 곱하면

$a^n\cdot a=\underset{n+1}{\underbrace{a\times a\times a\times \cdots a}}$

위 식의 좌변은 다음과 같이 정리된다.

$a^n\cdot a=a^n\cdot a^1=e^{n\ln a}\cdot e^{\ln a}=e^{n\ln a+\ln a}=e^{(n+1)\ln a}=a^{n+1}$

$\therefore a^{n+1}=\underset{n+1}{\underbrace{a\times a\times a\times \cdots a}}$

따라서 수학적 귀납법에 의하여 자연수 $x$에 대하여 $e^{x\ln a}$로 정의된 $a^x$는 a를 x번 곱한 것과 같다.

성질

지수 함수의 정의역은 실수 전체이다. 지수 함수의 치역은 양의 실수의 집합 ${ℝ}^{+}$이다.

단조성

지수 함수는 단조함수이다. 만약 $a>1$이라면, 지수 함수 $f(x)=a^x$는 증가함수이다. 만약 $0<a<1$이라면, 지수 함수 $f(x)=a^x$는 감소함수이다.

극한

$a>1$일 때, 지수 함수의 양과 음의 무한대에서의 극한은 다음과 같다.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0$

$0<a<1$일 때, 지수 함수의 양과 음의 무한대에서의 극한은 다음과 같다.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=\mathrm{\infty }$

따라서, 지수 함수는 $x$축을 점근선으로 갖는다.

지수 함수의 유한한 점에서의 극한은 함수의 값과 같다. 즉, 지수 함수는 연속 함수이다.

$\underset{x\to x_0}{\lim }{a}^x=a^{x_0}$

미분

밑이 자연로그의 밑인 지수 함수 ${\mathrm{e}}^x$의 도함수는 스스로와 같다.

$\frac{d}{dx}{\mathrm{e}}^x={\mathrm{e}}^x$

$a^x={\mathrm{e}}^{x\ln a}$이므로, 일반적인 지수 함수의 도함수는

$\frac{d}{dx}{a}^x=a^x\ln a$

가 된다. 틀:증명 연쇄 법칙에 따라,

$\frac{d}{dx}{a}^x=\frac{d}{dx}{\mathrm{e}}^{x\ln a}=\frac{d\mathrm{e}x\ln a}{dx\ln a}\frac{dx\ln a}{dx}=\mathrm{e}x\ln a\ln a=a^x\ln a$

틀:증명 끝 틀:증명 $y=a^x$ 양변에 로그를 취하면 다음을 얻는다.

$\ln y=x\ln a$

양변을 $x$에 대하여 미분하면 다음을 얻는다.

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\ln a$

정리하면 다음과 같다.

$\frac{dy}{dx}=y\ln a=a^x\ln a$

지수 함수 $y={\mathrm{e}}^x$는 미분 방정식

$dy/dx=y$

$y(0)=1$

의 유일한 해이다. 이는 지수 함수의 정의로 삼을 수 있다.

체론적 성질

다음과 같은 유리수 계수 다항식을 생각하자.

$\begin{array}{cc}{f}_n(x)& =\sum _{i=0}^n{x}^i/i!\\ & =((\exp x)/\mathrm{\Gamma }(n+1))\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^n\exp (-t)dt\\ & \in \mathbb{Q}[x]\end{array}$

즉, 이는 지수 함수 $\exp$의 테일러 급수의 부분합이다. 이 다항식은 유리수 계수 다항식이며, $n\ne 0$인 경우 기약 다항식이다. 또한, 이 다항식의 분해체의 갈루아 군은 다음과 같다.틀:Rp

$\mathrm{Gal}(f_n)\cong \{\begin{array}{cc}\mathrm{Sym}(n)& 4\nmid n\\ \mathrm{Alt}(n)& 4\mid n\end{array}$

같이 보기

• 자연로그의 밑
• 행렬 지수 함수
• 지수열

외부 링크

• 틀:플래닛매스
• 틀:매스월드