중간값 정리

중간값 정리

해석학에서 중간값 정리(中間-定理, 틀:Llang) 또는 사잇값 정리틀:Rp는 구간에 정의된 실숫값 연속 함수가 임의의 두 함숫값 사이의 모든 수를 함숫값으로 포함한다는 정리이다. 이에 따라, 실숫값 연속 함수에 대한 구간의 상은 구간이다.

정의

연속 함수 $f:[a,b]\to ℝ$가 주어졌다고 하자. 중간값 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

$f([a,b])\supseteq [f(a),f(b)]\cup [f(b),f(a)]$

즉, 임의의 $u\in (f(a),f(b))\cup (f(b),f(a))$에 대하여, 다음을 만족시키는 $c\in (a,b)$가 존재한다.

$f(c)=u$

증명

편의상 $f(a)<f(b)$라고 가정하자. 임의의 $f(a)<u<f(b)$에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자.

$E=\{x\in [a,b]:f(x)<u\}$

그렇다면, $a\in E$이며, $b$는 $E$의 한 상계이다. 따라서, $E$는 유한한 상한

$c=\sup E\in ℝ$

를 갖는다. $f$가 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 $\delta >0$이 존재한다.

$f(x)<u\mathrm{\forall }a\le x<a+\delta$

$f(x)>u\mathrm{\forall }b-\delta <x\le b$

따라서 $a<c<b$이다. 이제 귀류법을 사용하여 $f(c)=u$를 보이자. 먼저 $f(c)>u$라고 가정하자. 그렇다면, $f$가 연속 함수이므로 다음을 만족시키는 $\eta >0$이 존재한다.

$f(x)>u\mathrm{\forall }c-\eta <x<c+\eta$

즉, $c-\eta$는 $E$의 또 다른 상계이며, 이는 $c-\eta <c$와 모순이다. 이제 $f(c)<u$를 가정하자. 그렇다면, $f$가 연속 함수이므로 다음을 만족시키는 $\eta >0$이 존재한다.

$f(x)<u\mathrm{\forall }c-\eta <x<c+\eta$

즉, $c+\eta /2\in E$이며, 이는 $c=\sup E$와 모순이다. 따라서 $f(c)=u$이다.

따름정리

볼차노 정리

연속 함수 $f:[a,b]\to ℝ$가 다음을 만족시킨다고 하자.

$f(a)f(b)<0$

볼차노 정리(틀:Llang)에 따르면, $f$는 $(a,b)$에서 영점을 갖는다. 즉, 다음을 만족시키는 $c\in (a,b)$가 존재한다.

$f(c)=0$

볼차노 정리는 중간값 정리에서 $u=0$인 특수한 경우이다.

구간의 보존

구간 $I\subseteq ℝ$ 및 연속 함수 $f:I\to ℝ$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $I$의 상 $f(I)$은 역시 구간이다. 이를 연결 공간의 개념을 사용하지 않고 증명하려면, $I\subseteq ℝ$가 구간일 필요충분조건이 임의의 $a,b\in I$에 대하여 $(a,b)\subseteq I$인 것이라는 보조정리를 사용해야 한다.

특히, 만약 $I=[a,b]$가 닫힌구간일 경우, $f(I)$의 양 끝점은 $f$의 최댓값과 최솟값이다. 즉, 다음이 성립한다.

$f([a,b])=[\underset{x\in [a,b]}{\min }f(x),\underset{x\in [a,b]}{\max }f(x)]$

이 정리는 중간값 정리와 최대 최소 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

홀수차 실수 다항식의 근의 존재

임의의 실수 홀수차 다항식은 적어도 하나의 실수 영점을 갖는다. 이는 대수학의 기본 정리의 자명한 경우이며, 중간값 정리를 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

홀수차 실수 다항식

$p(x)=a_{2n+1}{x}^{2n+1}+a_{2n}{x}^{2n}+\cdots +a_{1}x+a_0\in ℝ[x](a_0,\dots ,a_{2n+1}\in ℝ,a_{2n+1}\ne 0)$

이 주어졌다고 하자. 편의상 $a_{2n+1}>0$이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }p(x)=-\mathrm{\infty },\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }p(x)=\mathrm{\infty }$

예를 들어, 전자의 경우 다음과 같이 보일 수 있다.

$\begin{array}{cc}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }p(x)& =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{2n+1}{x}^{2n+1}(1+\frac{a_{2n}}{a_{2n+1}}{x}^{-1}+\cdots +\frac{a_0}{a_{2n+1}}{x}^{-(2n+1)})\\ & =-\mathrm{\infty }\end{array}$

이에 따라, 다음을 만족시키는 $c<0<d$가 존재한다.

$p(c)<0<p(d)$

중간값 정리를 $p{|}_{[c,d]}$에 적용하면, 다음을 만족시키는 $p$의 영점 $e\in (c,d)$의 존재를 얻는다.

닫힌구간 위의 브라우어르 고정점 정리

연속 함수 $f:[a,b]\to [a,b]$는 항상 고정점을 갖는다. 즉, 다음을 만족시키는 $c\in [a,b]$가 존재한다.

$f(c)=c$

이는 브라우어르 고정점 정리의 자명한 경우이며, 중간값 정리를 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

다음과 같은 함수 $g:[a,b]\to ℝ$를 정의하자.

$g(x)=f(x)-x\mathrm{\forall }x\in [a,b]$

그렇다면, $g$는 연속 함수이며, $g(b)\le 0\le g(a)$이므로, 중간값 정리에 따라 다음을 만족시키는 $c\in [a,b]$가 존재한다.

$g(c)=0$

즉, $f(c)=c$가 성립한다.

가역 연속 함수의 단조성

구간 $I\subseteq ℝ$ 및 단사 연속 함수 $f:I\to ℝ$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $f$는 순단조 함수이다. 이는 중간값 정리를 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

귀류법을 사용하여, $f$가 순단조 함수가 아니라고 가정하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 $a,b,c\in I$가 존재한다.

• $a<b<c$
• $f(a)<f(b)>f(c)$ 또는 $f(a)>f(b)<f(c)$

편의상 전자가 성립한다고 가정하자. 그렇다면, $\max \{f(a),f(c)\}<u<f(b)$를 취할 수 있다. 각각 $f{|}_{[a,b]}$와 $f{|}_{[b,c]}$에 중간값 정리를 적용하면 다음을 만족시키는 $d\in (a,b)$ 및 $e\in (b,c)$가 존재함을 얻는다.

$f(d)=f(e)=u$

이는 $f$가 단사 함수인 것과 모순이다.

일반화

위상수학과 해석학의 몇몇 정리들은 중간값 정리를 특수한 경우로 포함한다.

연결 공간의 보존

틀:참고 두 위상 공간 $X,Y$ 사이의 연속 함수 $f:X\to Y$가 주어졌다고 하자. 만약 $X$가 연결 공간이라면, $f(X)$ 역시 연결 공간이다. 실수 집합 $ℝ$ 위에서 연결 공간은 구간과 동치이므로, 이와 같은 정리는 중간값 정리의 한 가지 일반화이다.

위상 공간 $X$와 (순서 위상을 부여한) 전순서 집합 $(Y,\le )$ 사이의 연속 함수 $f:X\to Y$가 주어졌다고 하자. 만약 $X$가 연결 공간이라면, 임의의 $a,b\in X$에 대하여, 다음이 성립한다.

$f(X)\supseteq [f(a),f(b)]\cup [f(b),f(a)]$

실수 집합 $ℝ$은 표준적인 전순서를 갖추므로, 이 정리 역시 중간값 정리를 일반화한다.

다르부 정리

틀:본문 미분 가능 함수 $f:[a,b]\to ℝ$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

$f^{\prime }([a,b])\supseteq [f^{\prime }(a),f^{\prime }(b)]\cup [f^{\prime }(b),f^{\prime }(a)]$

이를 다르부 정리라고 한다. 실수 연속 함수는 항상 어떤 함수의 도함수이므로, 다르부 정리는 중간값 정리의 일반화이다.

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:플래닛매스
• 틀:플래닛매스