행렬 지수 함수

틀:위키데이터 속성 추적 행렬 지수 함수(行列指數函數, 틀:Lang)란 정사각행렬에 대한 일종의 지수 함수다.

정의

행렬 지수 함수 $\exp :M_{n\times n}\to M_{n\times n}$은 정사각행렬을 다른 정사각행렬로 보내는 행렬 함수다. 다음과 같은 급수로 정의한다.

$\exp (X)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{X}^k$.

이는 복소수 지수 함수의 테일러 급수 $\exp (z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{z}^k$ 와 같은 꼴이다. 위의 급수는 항상 수렴하므로, 행렬 지수는 항상 존재한다.

성질

행렬 지수 함수는 다음과 같은 성질을 만족한다. 여기서 대문자는 임의의 정사각행렬, 소문자는 임의의 복소수를 의미한다.

• $\exp (0)=I_{n\times n}$ (단위행렬)
• 만약 $XY-YX=0$이면, $\exp (X)\exp (Y)=\exp (X+Y)=\exp (Y)\exp (X)$.
  • 위 성질의 특수한 경우로, $\exp (aX)\exp (bX)=\exp ((a+b)X)$.
  • 단, 일반적으로 가환하지 않는 두 행렬의 경우 $\exp (X)\exp (Y)\ne \exp (X+Y)\ne \exp (Y)\exp (X)$.
• 만약 $Y$가 가역행렬이라면, $Y\exp (X)Y^{-1}=\exp (YX{Y}^{-1})$.
• $\det \exp X=\exp \mathrm{tr}X$.
  • 따라서, $\det \exp X>0$이고, 행렬 지수는 항상 가역행렬이다.

행렬 지수 함수를 미분방정식으로도 나타낼 수 있다. 즉, 다음 초기조건문제

${𝐱}^{\prime }(t)=A𝐱(t)$

$𝐱(0)={𝐱}_0$

의 해는

$𝐱(t)=\exp (At){𝐱}_0$

이다.

같이 보기

• 지수 함수
• 골든-톰슨 부등식

외부 링크

• Module for the Matrix Exponential