테일러 정리

틀:위키데이터 속성 추적 틀:미적분학 미적분학에서 테일러 정리(-定理, 틀:Llang)는 함수를 한 점 주변에서 다항식으로 근사하는 정리이다.

정의

페아노 나머지항

만약 $f:(a-r,a+r)\to ℝ$가 $n$계 도함수를 가진다면, 다음이 성립한다.

$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+o(x-a{)}^n(x\to a)$

여기서 $o(x-a{)}^n$는 $(x-a{)}^n$과 어떤 0으로 수렴하는 함수의 곱을 나타낸다. 이는 함수와 어떤 다항식의 차가 $(x-a{)}^n$보다 빠르게 0으로 수렴함을 나타낸다. 이러한 다항식을 $n$차 테일러 다항식(-次-多項式, 틀:Llang)이라고 하고, 함수와 테일러 다항식의 차를 나머지항(-項, 틀:Llang)이라고 한다. 위와 같이 나타낸 나머지항 $o(x-a{)}^n$을 페아노 나머지항(-項, 틀:Llang)이라고 한다. 사실, 주어진 함수와의 차가 페아노 나머지항인 $n$차 이하의 다항식은 테일러 다항식으로 유일하다.

라그랑주 나머지항

만약 $f:[a^{\prime },b^{\prime }]\to ℝ$가 $n$번 연속 미분 가능 함수이며, $(a^{\prime },b^{\prime })$에서 $(n+1)$계 도함수를 가진다면, 임의의 $a,x\in [a^{\prime },b^{\prime }]$에 대하여, 다음이 성립한다.틀:Rp

$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}$

여기서 $\xi \in \{a+\theta (x-a):0<\theta <1\}$이다. 이와 같은 나머지항을 라그랑주 나머지항(-項, 틀:Llang)이라고 한다. 이는 평균값 정리의 일반화이다.

적분 나머지항

만약 $I$가 구간이며, $f:I\to ℝ$가 $(n+1)$번 연속 미분 가능 함수라면, 임의의 $a,x\in I$에 대하여, 다음이 성립한다.틀:Rp

$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}^{(n+1)}(t)(x-t{)}^n\mathrm{d}t$

이와 같은 나머지항을 적분 나머지항(積分-項, 틀:Llang)이라고 한다.

코시 나머지항

만약 $I$가 구간이며, $f:I\to ℝ$가 $(n+1)$번 연속 미분 가능 함수라면, 임의의 $a,x\in I$에 대하여, 다음이 성립한다.

$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{n!}(x-\xi {)}^n(x-a)$

여기서 $\xi \in \{a+\theta (x-a):0<\theta <1\}$이다. 이와 같은 나머지항을 코시 나머지항(-項, 틀:Llang)이라고 한다.

다변수 함수의 경우

페아노 나머지항

만약 $f:{\mathrm{B}}_{{ℝ}^d}(𝐚,r)\to ℝ$의 모든 $n$계 편도함수가 연속 함수라면, 다음이 성립한다.

$f(𝐱)=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\sum _{j_1=1}^d\cdots \sum _{j_k=1}^d\frac{{\partial }^{k}f(𝐚)}{\partial x_{j_1}\cdots \partial x_{j_k}}(x_{j_1}-a_{j_1})\cdots (x_{j_k}-a_{j_k})+o(\Vert 𝐱-𝐚{\Vert }^n)(𝐱\to 𝐚)$

라그랑주 나머지항

만약 $D\subseteq {ℝ}^d$가 연결 열린집합이며, $f:D\to ℝ$의 모든 $(n+1)$계 편도함수가 연속 함수이며, 또한 임의의 $t\in [0,1]$에 대하여 $𝐚+t(𝐱-𝐚)\in D$라면, 다음이 성립한다.

$f(𝐱)=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\sum _{j_1=1}^d\cdots \sum _{j_k=1}^d\frac{{\partial }^{k}f(𝐚)}{\partial x_{j_1}\cdots \partial x_{j_k}}(x_{j_1}-a_{j_1})\cdots (x_{j_k}-a_{j_k})+\frac{1}{(n+1)!}\sum _{j_1=1}^d\cdots \sum _{j_{n+1}=1}^d\frac{{\partial }^{n+1}f(\mathit{\xi })}{\partial x_{j_1}\cdots \partial x_{j_{n+1}}}(x_{j_1}-a_{j_1})\cdots (x_{j_{n+1}}-a_{j_{n+1}})$

여기서 $\mathit{\xi }\in \{𝐚+\theta (𝐱-𝐚):0<\theta <1\}$이다.

적분 나머지항

만약 $D\subseteq {ℝ}^d$가 연결 열린집합이며, $f:D\to ℝ$의 모든 $(n+1)$계 편도함수가 연속 함수이며, 또한 임의의 $t\in [0,1]$에 대하여 $𝐚+t(𝐱-𝐚)\in D$라면, 다음이 성립한다.틀:Rp

$f(𝐱)=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\sum _{j_1=1}^d\cdots \sum _{j_k=1}^d\frac{{\partial }^{k}f(𝐚)}{\partial x_{j_1}\cdots \partial x_{j_k}}(x_{j_1}-a_{j_1})\cdots (x_{j_k}-a_{j_k})+\frac{1}{n!}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sum _{j_1=1}^d\cdots \sum _{j_{n+1}=1}^d\frac{{\partial }^{n+1}f(𝐚+t(𝐱-𝐚))}{\partial x_{j_1}\cdots \partial x_{j_{n+1}}}(x_{j_1}-a_{j_1})\cdots (x_{j_{n+1}}-a_{j_{n+1}})(1-t{)}^n\mathrm{d}t$

증명

페아노 나머지항의 증명

함수 $f$의 테일러 다항식을 ${\mathrm{T}}_{n,f,a}(x)$로 표기하자. 페아노 나머지항의 테일러 정리는 다음을 의미한다.

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-{\mathrm{T}}_{n,f,a}(x)}{(x-a{)}^n}=0$

모든 $k\in \{0,\dots ,n\}$에 대하여 $f^{(k)}(a)={\mathrm{T}}_{n,f,a}^{(k)}(a)$이므로, 로피탈 법칙을 사용하면 다음을 얻는다.

$\begin{array}{cc}\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-{\mathrm{T}}_{n,f,a}(x)}{(x-a{)}^n}& =\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{(n-1)}(x)-{\mathrm{T}}_{n,f,a}^{(n-1)}(x)}{n!(x-a)}\\ & =\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{n!}(\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(a)}{x-a}-f^{(n)}(a))\\ & =0\end{array}$

첫 등호는 로피탈 법칙을 $(n-1)$번 반복한 결과이며, 마지막 등호는 $f^{(n)}(a)$의 정의에 의한다.

테일러 다항식의 유일성의 증명

다음이 성립한다고 가정하자.

$f(x)=a_0+a_1(x-a)+a_2(x-a{)}^2+\cdots +a_n(x-a{)}^n+o(x-a{)}^n(x\to a)$

여기서 $a_0,\dots ,a_n\in ℝ$는 상수이다. 이 식에 $x\to a$를 취하면 $a_0=f(a)$를 얻는다. 이를 대입한 뒤 식을 다음과 같이 변형하자.

$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=a_1+a_2(x-a{)}^2+\cdots +a_n(x-a{)}^{n-1}+o(x-a{)}^{n-1}(x\to a)$

여기에 $x\to a$를 취하면 $a_1=f^{\prime }(a)$를 얻는다. 마찬가지로 이를 대입한 뒤 식을 다음과 같이 변형하자.

$\frac{f(x)-f(a)-f^{\prime }(a)(x-a)}{(x-a{)}^2}=a_2+a_3(x-a)+\cdots +a_n(x-a{)}^{n-2}+o(x-a{)}^{n-2}(x\to a)$

여기에 $x\to a$를 취하면 $a_2=f^{″}(a)/2$를 얻는다. 이와 같이 반복하면 모든 $k\in \{0,\dots ,n\}$에 대하여 $a_k=f^{(k)}(a)/k!$임을 알 수 있다. 모든 테일러 정리는 페아노 나머지항을 유도할 수 있으므로 모든 테일러 정리의 테일러 다항식은 유일하다.

라그랑주 나머지항의 증명

편의상 $x\ne a$라고 가정하자. 다음과 같은 두 함수 $F,G:[a,x]\cup [x,a]\to ℝ$를 정의하자.

$F(t)=f(x)-(f(t)+f^{\prime }(t)(x-t)+\frac{f^{″}(t)}{2!}(x-t{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-t{)}^n)$

$G(t)=(x-t{)}^{n+1}$

그러면 $F,G$는 연속 함수이며, 임의의 $t\in (a,x)\cup (x,a)$에 대하여 다음이 성립한다.

$F^{\prime }(t)=-\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t{)}^n$

$G^{\prime }(t)=-(n+1)(x-t{)}^n$

또한 $F(x)=G(x)=0$이므로, 코시 평균값 정리에 따라 다음이 성립한다.

$\frac{F(a)}{G(a)}=\frac{F(a)-F(x)}{G(a)-G(x)}=\frac{F^{\prime }(\xi )}{G^{\prime }(\xi )}=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}$

여기서 $\xi \in (a,x)\cup (x,a)$이다. 따라서 라그랑주 나머지항의 테일러 정리가 성립한다.

적분 나머지항의 증명

미적분학의 기본 정리에 따라 다음이 성립한다.

$f(x)=f(a)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t$

부분 적분을 반복하면 다음을 얻는다.

$\begin{array}{cc}f(x)& =f(a)-\underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}(x-t)\\ & =f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t)f^{″}(t)\mathrm{d}t\\ & =f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)-\frac{1}{2}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}^{″}(t)\mathrm{d}(x-t{)}^2\\ & =f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2}(x-a{)}^2+\frac{1}{2}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^2{f}^{‴}(t)\mathrm{d}t\\ & ⋮\\ & =f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^n{f}^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t\end{array}$

따라서 적분 나머지항의 테일러 정리가 성립한다.틀:Rp 적분 나머지항에 제1 적분 평균값 정리를 적용하면 라그랑주 나머지항을 유도할 수 있다.

코시 나머지항의 증명

적분 나머지항에 제1 적분 평균값 정리를 적용하면 다음을 얻는다.

$\begin{array}{cc}\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}^{(n+1)}(t)(x-t{)}^n\mathrm{d}t& =\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{n!}(x-\xi {)}^n\underset{a}{\overset{x}{\int }}\mathrm{d}t\\ & =\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{n!}(x-\xi {)}^n(x-a)\end{array}$

여기서 $\xi \in \{a+\theta (x-a):0<\theta <1\}$이다. 따라서 코시 나머지항의 테일러 정리가 성립한다.

다변수 함수의 경우의 증명

라그랑주 나머지항의 경우를 증명하자. 그 밖의 경우도 마찬가지로 증명할 수 있다. 다음과 같은 함수 $g:[0,1]\to ℝ$을 정의하자.

$g(t)=f(𝐚+t(𝐱-𝐚))$

그러면 $g$는 $(n+1)$번 연속 미분 가능 함수이므로, 일변수 함수의 경우에 따라 다음이 성립한다.

$g(1)=\sum _{k=0}^n\frac{g^{(k)}(0)}{k!}+\frac{g^{(n+1)}(\theta )}{(n+1)!}$

여기서 $\theta \in (0,1)$이다. 또한, 연쇄 법칙에 따라 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}{g}^{(k)}(t)& ={(\sum _{j=1}^d(x_j-a_j)\frac{\partial }{\partial x_j})}^{k}f(𝐚+t(𝐱-𝐚))\\ & =\sum _{j_1=1}^d\cdots \sum _{j_k=1}^d\frac{{\partial }^{k}f(𝐚+t(𝐱-𝐚))}{\partial x_{j_1}\cdots \partial x_{j_k}}(x_{j_1}-a_{j_1})\cdots (x_{j_k}-a_{j_k})\end{array}$

이를 대입하면 다음과 같은 다변수 함수의 경우를 얻는다.

$f(𝐱)=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\sum _{j_1=1}^d\cdots \sum _{j_k=1}^d\frac{{\partial }^{k}f(𝐚)}{\partial x_{j_1}\cdots \partial x_{j_k}}(x_{j_1}-a_{j_1})\cdots (x_{j_k}-a_{j_k})+\frac{1}{(n+1)!}\sum _{j_1=1}^d\cdots \sum _{j_{n+1}=1}^d\frac{{\partial }^{n+1}f(𝐚+\theta (𝐱-𝐚))}{\partial x_{j_1}\cdots \partial x_{j_{n+1}}}(x_{j_1}-a_{j_1})\cdots (x_{j_{n+1}}-a_{j_{n+1}})$

같이 보기

• 평균값 정리
• 테일러 급수
• 로랑 급수

외부 링크

• 틀:Eom