코시-아다마르 정리

코시-아다마르 정리(Cauchy-Hadamard theorem, -定理)는 해석학의 기초적인 정리로, 거듭제곱 급수의 수렴 반경에 대한 정보를 제공한다. 프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시와 자크 아다마르의 이름이 붙어 있다.

공식화

코시-아다마르 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다.틀:Rp 적당한 복소수 수열 {c_n}에 대해, 다음의 거듭제곱 급수

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{z}^k$

의 수렴 반경 R은 다음 식으로 주어진다.

$\frac{1}{R}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|c_n|}$

증명

$a_n:=c_n{z}^n$으로 두고 근 판정법을 적용하면 다음과 같이 바로 증명할 수 있다.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n|}=|z|\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|c_n|}=\frac{|z|}{R}.$

따름정리

극한의 계산을 편하게 할 수 있는 따름정리를 곧바로 유도할 수 있다. 수열의 비와 근 사이에 성립하는 다음의 일반적인 부등식틀:Rp을 보면,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}|\frac{c_{n+1}}{c_n}|\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\sqrt[n]{|c_n|}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|c_n|}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|\frac{c_{n+1}}{c_n}|$

다음 극한이 존재할 경우,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\frac{c_{n+1}}{c_n}|$

위 부등식에서 바깥의 두 상극한과 하극한이 같아져서 네 식이 모두 같아지므로 코시-아다마르 정리에 의해 다음이 성립한다.

$\frac{1}{R}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\frac{c_{n+1}}{c_n}|.$