서로소 아이디얼

수론과 환론에서 서로소(-素, 틀:Llang)는 정수나 다항식들끼리의 최대 공약수가 1이라는 뜻의 표현이다. 즉, 서로소인 정수들의 공약수는 ±1뿐이며, 서로소인 다항식들의 공약수는 0차 다항식뿐이다. 서로소의 개념은 아이디얼의 경우에까지 확장할 수 있으며, 이는 정수와 다항식의 경우의 공통적인 일반화이다.

정의

정수의 경우

정수 $n_1,n_2,\dots ,n_k$가 $\gcd \{n_1,\dots ,n_k\}=1$을 만족시키면, 이들이 서로소라고 한다. 특히 두 정수 $m,n$의 최대 공약수가 1이라면, 이 두 정수가 서로소라고 한다.

정수 $n_1,n_2,\dots ,n_k$가 다음 조건을 만족시키면, 이들이 쌍마다 서로소(雙-素, 틀:Llang)라고 한다.

• 모든 서로 다른 두 정수의 쌍 $n_i\ne n_j$은 서로소이다.

쌍마다 서로소는 서로소보다 강한 개념이다.

다항식의 경우

체 $K$ 위의 다항식 $p_1(x),\dots ,p_k(x)\in K[x]$의 최대 공약수가 0차 다항식(즉, 1의 약수이자 1의 배수인 다항식)이라면, 이들이 서로소라고 한다. 모든 서로 다른 두 다항식의 쌍이 서로소라면, 이들이 쌍마다 서로소라고 한다.

환의 원소의 경우

정역 $R$의 원소 $r_1,\dots ,r_k\in R$의 최대 공약수가 가역원(즉, 곱셈 항등원의 약수이자 배수인 원소)이라면, 이들이 서로소라고 한다. 모든 서로 다른 두 원소의 쌍이 서로소라면, 이들이 쌍마다 서로소라고 한다.

아이디얼의 경우

환 $R$의 아이디얼 ${𝔞}_1,\dots ,{𝔞}_k\subset R$가 다음 조건을 만족시키면, 서로소라고 한다.

• ${𝔞}_1+\cdots +{𝔞}_k=R$. 즉, $r_1+\cdots +r_k=1_R$인 $r_i\in {𝔞}_i$가 존재한다.

특히, 두 아이디얼 $𝔞,𝔟\subset R$가 $𝔞+𝔟=R$를 만족시키면 서로소라고 한다. 모든 서로 다른 두 아이디얼의 쌍이 서로소라면, 이 아이디얼들이 쌍마다 서로소라고 한다.

성질

베주 항등식

틀:본문 두 정수 $m,n\in \mathbb{Z}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $m,n$은 서로소이다.
• $m,n$은 공통의 소인수를 갖지 않는다.
• (베주 항등식) $um+vn=1$인 정수 $u,v$가 존재한다.
• $(m),(n)\subset \mathbb{Z}$는 서로소이다.

두 다항식 $p(x),q(x)\in K[x]$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $p(x),q(x)$는 서로소이다.
• $p(x),q(x)$는 공통의 기약 다항식 약수를 갖지 않는다.
• (베주 항등식) $u(x)p(x)+v(x)q(x)=1$인 $u(x),v(x)\in K[x]$가 존재한다.
• $(p(x)),(q(x))\subset K[x]$는 서로소이다.

보다 일반적으로, 환 $R$ 및 그 두 원소 $a,b\in R$에 대하여, 만약 $R$가 유일 인수 분해 정역이라면, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $a,b$는 서로소이다.
• $a,b$는 공통의 소원 약수를 갖지 않는다.

만약 $R$가 주 아이디얼 정역이라면, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $a,b$는 서로소이다.
• (베주 항등식) $ua+vb=1_R$인 $u,v\in R$가 존재한다.
• $(a),(b)\subset R$는 서로소이다.

중국인의 나머지 정리

틀:본문 유사환의 쌍마다 서로소 아이디얼에 대하여 중국인의 나머지 정리가 성립한다. 정수나 다항식의 연립 합동 방정식의 해의 구조에 대한 명제는 이에 대한 특수한 경우이다.

확률론적 성질

두 정수가 서로소일 확률은

$\frac{6}{{\pi }^2}=0.607927101854026628663276\dots$

이다. 틀:Proof 소수 $p$가 어떤 정수를 나눌 확률은 $1/p$이며, 어떤 두 정수를 나눌 확률은 $1/p^2$이다. 따라서 두 정수가 서로소일 확률은 이 둘을 모두 나누는 소수가 존재하지 않을 확률과 같으며, 이는 다음과 같다.

$\prod _{p\in \mathbb{P}}(1-\frac{1}{p^2})=\frac{1}{\prod _{p\in \mathbb{P}}\frac{1}{1-p^{-2}}}=\frac{1}{\zeta (2)}=\frac{6}{{\pi }^2}$

여기서 $\mathbb{P}$는 소수의 집합, $\zeta$는 리만 제타 함수이다. 틀:End proof

같이 보기

• 기약분수

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드