단조 수렴 정리 (미적분학)

틀:위키데이터 속성 추적 실해석학에서, 단조 수렴 정리(單調收斂定理, 틀:Llang)는 실수 항의 단조 유계 수열이 항상 수렴한다는 정리이다.

정의

실수 수열 $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$이 주어졌다고 하자. 단조 수렴 정리에 따르면, 만약 $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$가 증가 수열이라면 ($a_0\le a_1\le a_2\le \cdots$), 다음이 성립한다.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\ge 0}{\sup }{a}_n\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$

마찬가지로, 만약 $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$가 감소 수열이라면 ($a_0\ge a_1\ge a_2\ge \cdots$), 다음이 성립한다.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\ge 0}{\inf }{a}_n\in [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$

여기서 $\sup ,\inf$는 각각 상한과 하한을 나타낸다.

이에 따라, 임의의 실수 단조 수열 $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$은 ($ℝ$에서) 수렴한다.
• $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$는 유계 수열이다.

틀:증명 임의의 실수 증가 수열 $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$에 대하여, 그 상한을

$L=\underset{n\ge 0}{\sup }{a}_n\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$

이라고 하자.

만약 $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$이 유계 수열이라면, $L<\mathrm{\infty }$이다. $L$의 정의에 따라, 임의의 $ϵ>0$에 대하여,

$a_N>L-ϵ$

인 $N\ge 0$이 존재한다. 따라서, 임의의 $n\ge N$에 대하여,

$L-ϵ<a_N\le a_n\le L<L+ϵ$

이다. 즉,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=L$

이 성립한다.

만약 $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$이 무계 수열이라면, $L=\mathrm{\infty }$이다. 임의의 $M>0$에 대하여,

$a_N>M$

인 $N\ge 0$이 존재하며, 임의의 $n\ge N$에 대하여

$a_n\ge a_N>M$

이다. 즉,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\mathrm{\infty }$

이 성립한다. 틀:증명 끝

예

확장된 실수

$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}}$

를 단조 수렴 정리를 사용하여 구해보자. 우선 이는 다음과 같은 실수 수열 $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$의 극한이다.

$a_1=\sqrt{2}$

$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}(n\ge 1)$

수학적 귀납법을 통해 $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$이 증가 수열임을 다음과 같이 보일 수 있다.

$a_2=\sqrt{2+\sqrt{2}}>\sqrt{2}=a_1$

$a_{n+1}>a_n⟹a_{n+2}=\sqrt{2+a_{n+1}}>\sqrt{2+a_n}=a_{n+1}(n\ge 1)$

또한 $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$은 다음에 따라 $\sqrt{2}+1$을 상계로 가지므로, 유계 수열이다.

$a_1=\sqrt{2}<\sqrt{2}+1$

$a_n<\sqrt{2}+1⟹a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt{2+\sqrt{2}+1}<\sqrt{2+2\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}+1(n\ge 1)$

단조 수렴 정리에 따라, $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$은 수렴한다. 이제

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=L$

이라고 하고 등식

$a_{n+1}^2=2+a_n(n\ge 1)$

의 양변에 극한을 취하면

$L^2=2+L$

을 얻으며, 이를 풀면 $L=-1$이거나 $L=2$임을 얻는다. 또한 $L\ge a_1>0$이므로,

$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots }}}=L=2$

이다.

일반화

실수 수열 $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$이 주어졌고, 다음 조건들을 만족시키는 양의 정수 $k>0$ 및 연속 함수 $f:{ℝ}^k\to ℝ$이 존재한다고 하자.

• 임의의 $1\le i\le k$ 및 $x_1,\dots ,x_i,{x_i}^{\prime },\dots ,x_k,\in ℝ$에 대하여, 만약 $x_i<{x_i}^{\prime }$이라면 $f(x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_k)<f(x_1,\dots ,{x_i}^{\prime },\dots ,x_k)$이다.
• 임의의 $x\in ℝ$에 대하여, $f(x,\dots ,x)=x$
• 임의의 $n\ge k$에 대하여, $f(a_{n-1},a_{n-2},\dots ,a_{n-k})\le a_n$

그렇다면,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\ge 0}{\sup }\min \{a_{n-1},a_{n-2},\dots ,a_{n-k}\}\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$

이다. 또한, $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$이 수렴할 필요 충분 조건은 유계 수열이다.

외부 링크

• 틀:Proofwiki