기멜 함수

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 기멜 함수(ℷ函數, 틀:Llang)는 무한 기수의 거듭제곱을 나타낼 수 있는 함수이다.

정의

기멜 함수는 다음과 같다.

$\gimel :\mathrm{Card}\to \mathrm{Card}$

$\gimel :\kappa \mapsto {\kappa }^{\mathrm{cf}\kappa }$

여기서 $\mathrm{cf}\kappa$는 공종도이다.

성질

자연수의 공종도는 $\mathrm{cf}n=\min \{1,n\}$이므로 $\gimel (n)=\max \{1,n\}$이다. 정칙 기수 $\kappa$의 경우

$\gimel (\kappa )=2^{\kappa }$

이다. 가장 작은 무한 특이 기수인 ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$의 경우,

$\gimel ({\mathrm{\aleph }}_{\omega })\le \max \{2^{{\mathrm{\aleph }}_0},{\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_4}\}$

이다. 이는 사하론 셸라흐가 가능 공종도 이론을 사용하여 증명하였다.

쾨니그의 정리에 따라, 모든 기수 $\kappa$에 대하여

$\kappa <\gimel (\kappa )\le 2^{\kappa }$

이다. 따라서, 일반화 연속체 가설을 가정한다면 기멜 함수는 다음과 같다.

$\gimel (\kappa )=\{\begin{array}{cc}1& \kappa =0\\ \kappa & 1\le \kappa <{\mathrm{\aleph }}_0\\ {\kappa }^{+}& \kappa \ge {\mathrm{\aleph }}_0\end{array}$

거듭제곱의 정의

기수의 거듭제곱은 기멜 함수로 다음과 같이 완전히 정의된다. 임의의 무한 기수 $\kappa$에 대하여,

$2^{\kappa }=\{\begin{array}{cc}\gimel (\kappa )& \mathrm{\exists }\lambda :\kappa ={\lambda }^{+}\\ \max \{2^{\mu },\gimel (\kappa )\}& \mathrm{\exists }\mu <\kappa :\mathrm{\forall }\lambda \in [\mu ,\kappa ):2^{\lambda }=2^{\mu }\\ \gimel \left(\underset{\lambda <\kappa }{\sup }{2}^{\lambda }\right)& \nexists \mu <\kappa :\mathrm{\forall }\lambda \in [\mu ,\kappa ):2^{\lambda }=2^{\mu }\end{array}$

임의의 두 무한 기수 $\kappa ,\lambda$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\kappa }^{\lambda }=\{\begin{array}{cc}{2}^{\lambda }& 2\le \kappa \le \lambda \\ {\mu }^{\lambda }& \kappa >\lambda \wedge (\mathrm{\exists }\mu <\kappa :{\mu }^{\lambda }\ge \kappa )\\ \gimel (\kappa )& \kappa >\lambda \ge \mathrm{cf}\kappa \wedge (\nexists \mu <\kappa :{\mu }^{\lambda }\ge \kappa )\\ \kappa & \mathrm{cf}\kappa >\lambda \wedge (\nexists \mu <\kappa :{\mu }^{\lambda }\ge \kappa )\end{array}$

각주

• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:웹 인용

같이 보기

• 특이 기수 가설
• 가능 공종도