알레프 수

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 알레프 수(ℵ數, 틀:Llang)는 무한 기수를 나타내는 표기법이다. 기수의 고유 모임은 정렬 순서를 가지므로, 이에 따라 무한 기수를 순서수와 일대일 대응시킨다.

정의

편의상, 체르멜로-프렝켈 집합론 및 선택 공리를 가정하고, 존 폰 노이만의 순서수의 정의(순서수는 그보다 작은 모든 순서수의 집합)를 사용하자. 기수 $\kappa$의 바로 다음 기수(틀:Llang)는 다음과 같다.

${\kappa }^{+}=|\inf \{\alpha \in \mathrm{Ord}:\kappa <|\alpha |\}|$

하르톡스 정리에 따라 이 하한은 항상 존재한다. 여기서 부등식은 기수의 부등식이다.

순서수 $\alpha$에 대하여, 알레프 수 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$는 다음과 같이 초한 귀납법으로 정의된다.

• ${\mathrm{\aleph }}_0=|\mathbb{N}|$ (자연수의 집합의 크기)
• ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }^{+}$ ($\alpha +1$는 $\alpha$의 따름 순서수)
• ${\mathrm{\aleph }}_{\lambda }=|\inf \{\alpha \in \mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}:\mathrm{\forall }\beta <\lambda :{\mathrm{\aleph }}_{\beta }<|\alpha |\}|$ ($\lambda$는 극한 순서수)

성질

알레프 수는 순서수의 고유 모임 $\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}$에서 기수의 고유모임 $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}$으로 가는 "함수"이다. (물론, 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 정의역과 공역이 집합이 아니므로 이는 엄밀히 말해 함수가 될 수 없다.) 이는 "단사 함수"이며, 그 "상"은 무한 기수이다. 따라서, 모든 순서수 $\alpha$에 대하여,

${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }<\kappa <{\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}$

인 기수 $\kappa$는 존재하지 않는다.

고정점

기수를 순서수로 여겨, 알레프 수의 "고정점"(즉, ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }=\alpha$인 $\alpha$)을 생각할 수 있다. 알레프 수는 순서수의 모임 위의 순서 보존 "함수"이므로, 모든 순서수 $\alpha$에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

$\alpha \le {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$

모든 알레프 수의 고정점은 극한 기수이다. 모든 약하게 도달 불가능한 기수는 알레프 수의 고정점이다. 알레프 수의 최소의 고정점은 다음과 같다.

$\kappa =\sup \{{\mathrm{\aleph }}_0,{\mathrm{\aleph }}_{\omega },{\mathrm{\aleph }}_{{\omega }_{\omega }},\dots \}$

이는 약하게 도달 불가능한 기수가 아니다. 틀:증명 만약 $\kappa ={\mathrm{\aleph }}_{\kappa }$라면, $\kappa$는 무한 기수이며, 특히 극한 순서수이다. 따라서 $\kappa ={\mathrm{\aleph }}_{\kappa }$는 극한 기수이다.

약하게 도달 불가능한 기수 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$가 주어졌을 때,

${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }=\mathrm{cf}{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }=\mathrm{cf}\alpha \le \alpha$

이다. ($\mathrm{cf}{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }=\mathrm{cf}\alpha$는 $\alpha$가 극한 순서수이기 때문이다.) 따라서, ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }=\alpha$이다. 틀:증명 끝

연속체 가설

틀:본문 일반화 연속체 가설에 따르면,

${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\beth }_{\alpha }$

가 성립한다. 여기서 ${\beth }_{\alpha }$는 베트 수이다. 이 명제는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 독립적이다 (즉, 증명하거나 반증할 수 없다). 또한, 대부분의 큰 기수 공리들을 추가해도 이는 변함이 없다. 위 가설에서 $\alpha =1$인 특수한 경우

${\mathrm{\aleph }}_1=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$

는 연속체 가설이라고 불리며, 역시 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론 및 큰 기수 공리들에 대하여 독립적이다.

예

ℵ₀

${\mathrm{\aleph }}_0$은 가산 무한 집합의 크기이다. 예를 들어, 자연수의 집합 $\mathbb{N}$, 정수의 집합 $\mathbb{Z}$, 유리수의 집합 $\mathbb{Q}$ 등이 이 크기이다.

${\mathrm{\aleph }}_0=|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|=|\mathbb{Q}|$

ℵ₁

${\mathrm{\aleph }}_1$은 가장 작은 비가산 기수이다. 이는 모든 가산 순서수들의 집합의 크기이다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 연속체 가설이 독립적이므로, 실제로 크기가 ${\mathrm{\aleph }}_1$이라고 증명할 수 있는 집합들은 그리 많지 않다.

ℵ_ω

$\omega$가 가장 작은 무한 순서수라고 하자. ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$는 $\{{\mathrm{\aleph }}_n:n\in \mathbb{N}\}$의 상한이다. 또한, 이는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서

$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\ne \kappa$

임을 증명할 수 있는 가장 작은 기수 $\kappa$이다.

역사

이 표기법은 게오르크 칸토어가 기수 및 순서수 이론을 정의하면서 도입하였다. 알레프(ℵ)는 히브리 문자의 첫 글자이다. 칸토어가 왜 이 글자를 골랐는지는 확실하지 않다. 칸토어 자신이 유대인인지는 확실하지 않지만, 칸토어의 아내 발리 구트만(틀:Llang)은 유대인이었다.

각주

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드

같이 보기

• 베트 수