마틴 공리

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 마틴 공리(Martin公理, 틀:Llang, 약자 $𝖬𝖠$)는 실수 집합의 크기보다 더 작은 집합들은 가산 집합과 유사한 성질을 갖는다는 명제다. 여기서 "유사한 성질"이란 강제법에 사용되는 원순서 집합에 대한 것으로, 이 조건을 강화시켜 고유 강제법 공리(固有強制法公理, 틀:Llang, 약자 $𝖯𝖥𝖠$) 및 마틴 최대 공리(Martin最大公理, 틀:Llang, 약자 $𝖬𝖬$)를 얻을 수 있다. 적절한 큰 기수의 존재 아래, 이들은 모두 다 통상적인 집합론(체르멜로-프렝켈 집합론 및 선택 공리)으로는 증명할 수도, 반증할 수도 없다.

정의

강제법 공리(強制法公理, 틀:Llang)는 다음과 같은 꼴의 명제이다.

• $𝖯$ 조건을 만족시키는 원순서 집합 $(X,\lesssim )$ 및 $X$의 공시작 집합들의 집합족 $𝒟\subseteq 𝒫(X)$에 대하여, 만약 $|𝒟|<\kappa$라면, $𝒟$-포괄적 필터 $F\subseteq X$가 존재한다.

여기서 $𝖯(-)$는 원순서 집합에 대한 술어이며, $\kappa \in \mathrm{Card}$는 기수이다.

주로 사용되는 강제법 공리는 다음과 같다.

이름	기호	원순서 집합 $X$의 조건 $𝖯$	$𝒟$의 크기의 상계 $\kappa$
마틴 공리	$𝖬𝖠$	가산 강하향 반사슬 조건	$2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$
고유 강제법 공리	$𝖯𝖥𝖠$	고유성 조건	${\mathrm{\aleph }}_2$
마틴 최대 공리	$𝖬𝖬$	$X$에 대한 강제법은 ${\omega }_1$의 정상 집합들을 보존	${\mathrm{\aleph }}_2$

여기서, 모든 비가산 정칙 기수 $\lambda$에 대하여, $X$에 대한 강제법은 $[\lambda {]}^{\omega }$의 정상 집합들을 보존한다면, $X$가 고유성 조건(틀:Llang)을 만족시킨다고 한다. (여기서 $[\lambda {]}^{\omega }$는 $\lambda$의 가산 무한 부분 집합들의 족이다.)

보다 일반적으로, 강제법 공리에 등장하는 기수 $\kappa$를 다른 기수로 대체할 수 있으며, 이 경우 $𝖬𝖠(\kappa )$와 같이 쓴다.

성질

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

마틴 최대 공리 ⇒ 고유 강제법 공리 ⇒ 마틴 공리

무모순성 성질

만약 초콤팩트 기수가 존재한다면, ZFC+마틴 최대 공리는 무모순적이다.

ZFC에서 증명 가능한 경우

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 다음 두 명제를 보일 수 있다.

• 라시오바-시코르스키 보조정리: $\kappa \le {\mathrm{\aleph }}_0⟹𝖬𝖠(\kappa )$
• $\mathrm{\neg }𝖬𝖠(2^{{\mathrm{\aleph }}_0})$. 예를 들어, 실수 구간 $[0,1]$은 분해 가능 콤팩트 하우스도르프 공간이므로 가산 강하향 반사슬 조건을 만족시킨다.

또한, 임의의 원순서 집합 $(X,\lesssim )$에 대하여, 만약 $X$에 대한 강제법이 ${\omega }_1$의 정상 집합을 보존하지 않는다면, 조건 $𝖯(X^{\prime })⟺X=X^{\prime }$에 대한, ${\mathrm{\aleph }}_2$ 미만의 공시작 집합들의 집합족에 대한 강제법 공리는 ZFC에서 거짓이다. 즉, 이러한 의미에서 마틴 최대 공리는 "가장 강력한" 강제법 공리이다.

강제법 공리를 함의하는 명제

연속체 가설 $𝖢𝖧$는 마틴 공리 $𝖬𝖠$를 자명하게 함의한다.

강제법 공리와 동치인 명제

다음 명제들은 $𝖬𝖠(\kappa )$와 동치이다.

• 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$에 대하여, 만약 $X$의 공집합이 아닌 열린집합들의 부분 순서 집합 $(\mathrm{Open}(X)\setminus \{\varnothing \},\subseteq )$이 가산 강하향 반사슬 조건을 만족시키면, $X$는 $\kappa$ 이하의 수의 조밀한 곳이 없는 집합들의 합집합이 아니다.틀:Rp

강제법 공리로부터 함의되는 명제

만약 마틴 공리가 참이라면, 다음이 성립한다.

• 정규 무어 공간 추측이 거짓이다.

만약 $𝖬𝖠\wedge \mathrm{\neg }𝖢𝖧$라면, 다음이 성립한다.

• 수슬린 가설이 참이다.
• 크기가 ${\mathrm{\aleph }}_1$인, 자유 아벨 군이 아닌 화이트헤드 군이 존재한다.

만약 고유 강제법 공리를 가정한다면, 다음이 성립한다.

• $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}={\mathrm{\aleph }}_2$.틀:Rp 특히, 연속체 가설이 거짓이다.
• ${𝖠𝖣}^{L(ℝ)}$ (즉, $ℝ$-구성 가능 전체에서의 결정 공리)
• 특이 기수 가설 $𝖲𝖢𝖧$

만약 마틴 최대 공리를 가정한다면, 다음이 성립한다.

• 임의의 정칙 기수 $\kappa \ge {\omega }_2$의 정상 집합 $S\subseteq \kappa$에 대하여, 만약 $S$의 모든 원소의 공종도가 가산 기수라면, $S\cap \alpha$가 $\alpha$ 속의 정상 집합이 되는 순서수 $\alpha <\kappa$가 존재한다.

역사

마틴 공리는 도널드 앤서니 마틴(틀:Llang)과 로버트 솔로베이가 1970년에 도입하였다.

고유 강제법 공리는 제임스 얼 바움가트너(틀:Llang)와 사하론 셸라흐가 1970년대에 도입하였다.

마틴 최대 공리는 1988년에 매슈 포어먼(틀:Llang) · 메나헴 마기도르 · 사하론 셸라흐가 도입하였다. 이 논문에서 포먼·마기도르·셸라흐는 마틴 최대 공리가 (어떤 특정한 의미에서) 가장 강력한 강제법 공리임을 증명하였다.

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용