베트 수

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 베트 수(ℶ數, 틀:Llang)는 가산 무한 집합의 거듭된 멱집합들의 크기들을 나타내는 표기법이다.

정의

순서수 $\alpha$ 및 기수 $\kappa$에 대하여, 베트 수 ${\beth }_{\alpha }(\kappa )$는 다음과 같이 초한귀납법으로 정의된다.

• ${\beth }_0(\kappa )=\kappa$
• ${\beth }_{\alpha +1}(\kappa )=2^{{\beth }_{\alpha }(\kappa )}$
• 극한 순서수 $\lambda$에 대하여, ${\beth }_{\lambda }(\kappa )=\sup \{{\beth }_{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}$

만약 $\kappa$를 생략할 경우, $\kappa ={\mathrm{\aleph }}_0$을 의미한다. 즉,

${\beth }_{\alpha }={\beth }_{\alpha }({\mathrm{\aleph }}_0)$

이다.

성질

칸토어의 정리에 따라, 베트 수들은 항상 증가한다.

$\alpha <\beta ⟹{\beth }_{\alpha }<{\beth }_{\beta }$

또한, 베트 수는 같은 차수의 알레프 수보다 작지 않다. 즉, 모든 순서수 $\alpha$에 대하여,

${\beth }_{\alpha }\ge {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$

위 식에서 등식이 성립하는지 여부는 일반화 연속체 가설이라고 하며, 이는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:웹 인용

같이 보기

• 알레프 수
• 극한 기수