알렉산드로프-콘체비치-시바르츠-자보론스키 시그마 모형

틀:위키데이터 속성 추적 이론물리학에서 알렉산드로프-콘체비치-시바르츠-자보론스키 시그마 모형(Алехандров-Концевич-Шварц-Заборонский模形, 틀:Llang, 약자 AKSZ 시그마 모형)은 L∞-준대수의 데이터로 정의되는 위상 양자장론이다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 매끄러운 다양체 $M$
• 매끄러운 다양체 $N$
• $N$ 위의 L∞-준대수 $𝔤$. 즉, 이는 ${𝔤}_0={𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M;ℝ)$가 되는 L∞-대수이다.
• $𝔤$ 위의 2차 불변 다항식. 즉, 원소 $\omega \in \in {\mathrm{Weil}}_{2+\dim M}(𝔤)$ 가운데, ${\mathrm{d}}_{\mathrm{Weil}(𝔤)}\omega =0$이며, ${\omega }_{ij}\delta t^i\delta t^j$의 꼴이어야 한다. 또한, ${\omega }_{ij}$는 $𝔤$ 위의 비퇴화 이차 형식이어야 한다. (여기서 $\mathrm{Weil}(-)$는 L∞-대수의 베유 대수이다.)
• ${\mathrm{d}}_{\mathrm{Weil}(𝔤)}c=\omega$가 되는 원소 $c\in \mathrm{Weil}(𝔤)$. 이를 천-사이먼스 원소(틀:Llang)라고 한다.

베유 대수에서 슈발레-에일렌베르크 대수로 가는 표준적인 사영 사상

$\mathrm{Weil}(𝔤)\to \mathrm{CE}(𝔤)$

아래의 $c$의 상을 $\mu \in \mathrm{CE}(𝔤)$라고 하자.

L_∞-준대수 사상

$\varphi :\mathrm{T}M\to 𝔤$

는 $M$ 위의 일련의 미분 형식 장들을 정의한다. 그렇다면, 다음과 같은 작용을 정의할 수 있다.

$S=k\int {\varphi }^{*}c=k\int \omega (\varphi ,\mathrm{d}\varphi )+\mu$

여기서 $k\in ℝ$는 임의의 상수이다. 이를 AKSZ 시그마 모형이라고 한다.

예

1차원

심플렉틱 다양체 $N$의 심플렉틱 형식 $\omega$가 완전 미분 형식이라고 하자.

$\omega =\mathrm{d}c$

$c\in {\mathrm{\Omega }}^1(N)$

즉, 여기서 $c$는 $\omega$의 천-사이먼스 형식이다.

$N$은 (0차원 벡터 다발에 해당하는) 자명한 리 준대수로 여겨질 수 있으며, 그 슈발레-에일렌베르크 대수는

$\mathrm{CE}(N)={𝒞}^{\mathrm{\infty }}(N;ℝ)$

이다.

리 준대수 사상

$\mathrm{T}M\to N$

은 단순히 매끄러운 함수 $\varphi :M\to N$이며, 이에 대한 1차원 알렉산드로프-콘체비치-시바르츠-자보론스키 시그마 모형의 작용은

$S=\underset{ℝ}{\int }{\varphi }^{*}c$

이다. 이에 대한 운동 방정식은

$\dot{\varphi }=0$

이다. 즉, 이는 움직이지 않는 입자를 나타낸다.

구체적으로, $N={\mathrm{T}}^{*}X$가 공변접다발이라고 하자. 그렇다면

$c=p_i\mathrm{d}{x}^i$

가 되며, 이 경우 작용은

$S=\underset{ℝ}{\int }{p}_i{\dot{x}}^i\mathrm{d}t$

가 된다. 이는 입자의 통상적인 작용

$S=\underset{ℝ}{\int }(p_i{\dot{x}}^i-g^{ij}{p}_i{p}_j/2m)\mathrm{d}t$

에서 무한대 질량 극한

$m\to \mathrm{\infty }$

을 취한 것이다. 즉, 입자가 매우 무거워, 더 이상 움직이지 않게 된다.

2차원 (푸아송 시그마 모형)

푸아송 다양체 $(N,\pi )$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\mathrm{T}}^{*}N\twoheadrightarrow N$은 표준적으로 리 준대수를 이룬다. 그렇다면, 리 준대수 사상

${\mathrm{T}}^{*}M\to E$

은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 매끄러운 함수 $\varphi :M\to N$. 그 미분은 $\mathrm{d}\varphi \in {\mathrm{\Omega }}^1(M;{\varphi }^{*}(\mathrm{T}N))$이다. 이는 접다발 $\mathrm{T}N\twoheadrightarrow N$의 당김 올다발 ${\varphi }^{*}(\mathrm{T}N)\twoheadrightarrow M$에 값을 갖는 1차 미분 형식이다.
• 공변접다발 $E^{*}\twoheadrightarrow N$의 당김 올다발 ${\varphi }^{*}{E}^{*}\twoheadrightarrow M$에 값을 갖는 1차 미분 형식 $\eta \in {\mathrm{\Omega }}^1(M;{\varphi }^{*}{E}^{*})$

$M$의 지표를 $\mu ,\nu ,\dots$로, $N$의 지표를 $i,j,\dots$로 적을 때, 장들은

${\eta }_{\mu }^i$

${\partial }_{\mu }{\varphi }^i$

이며, 이에 대한 작용은

$S=\underset{M}{\int }({\eta }_i\wedge \mathrm{d}{\varphi }^i+\frac{1}{2}{\pi }^{ij}(\varphi ){\eta }_i\wedge {\eta }_j)$

이다. 여기서 $\pi$는 푸아송 다양체의 푸아송 텐서이다.

천-사이먼스 이론

틀:본문 다음이 주어졌다고 하자.

• 유한 차원 실수 리 대수 $𝔤$. 이는 한원소 공간 $N=\{\bullet \}$ 위의 리 준대수이다.
• $𝔤$ 위의 불변 다항식 $\omega \in {\mathrm{Weil}}^4(𝔤)$

(예를 들어, 만약 $𝔤$가 단순 리 대수라면, $\omega$는 킬링 형식의 실수배이다.)

그렇다면, $\omega$에 대응하는 천-사이먼스 원소

${\mathrm{d}}_{\mathrm{Weil}(𝔤)}\alpha =\omega$

$\alpha \in {\mathrm{Weil}}^3(𝔤)$

를 정의할 수 있다. 이에 대한 작용은 천-사이먼스 형식이다.

리 준대수 사상

$\mathrm{T}M\to 𝔤$

의 개념은 리 대수 값 1차 미분 형식

$A\in {\mathrm{\Omega }}^1(M;𝔤)$

의 개념과 동치이며, 이에 대한 AKSZ 시그마 모형은 $𝔤$에 대한 천-사이먼스 이론이다.

보다 일반적으로, 이차 리 대수 대신 스칼라장을 포함할 수 있는 쿠런트 준대수를 사용할 수 있다. 이 경우 얻는 작용은 쿠런트 시그마 모형(틀:Llang)이라고 한다.

역사

알렉산드로프 · 막심 콘체비치 · 알베르트 시바르츠 · 자보론스키가 도입하였다.

참고 문헌

• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용