아즈마야 대수

틀:위키데이터 속성 추적 환론과 대수적 수론과 대수기하학에서 아즈마야 대수([東屋]代數, 틀:Llang)는 가환환 또는 스킴 위의 단위 결합 대수 가운데, 자리스키 위상에서 각 줄기가 유한 차원 자유 가군이며, 줄기의 포락 대수가 행렬환과 동형인 것이다. 대수기하학적으로, 아즈마야 대수는 올이 사영 공간인 올다발에 해당한다.

아즈마야 대수들의 동치류는 브라우어 군(Brauer群, 틀:Llang)이라는 군을 정의한다. 이는 벡터 다발의 동치류들이 K군을 정의하는 것과 마찬가지다.

정의

가환 국소환 $(R,𝔪)$ 위의 아즈마야 대수 $\varphi :R\to A$는 다음 조건을 만족시키는 $R$-단위 결합 대수이다.틀:Rp

• $R$-가군으로서 양의 유한 차원 자유 가군 $R^n$과 동형이다.
• $a{\otimes }_{R}b\mapsto (x\mapsto axb)$에 의하여, $A{\otimes }_R{A}^{\mathrm{op}}\cong \mathrm{Mat}(n;R)=\mathrm{End}{(}_{R}A)$이다.

여기서 $A{\otimes }_R{A}^{\mathrm{op}}=A^{\mathrm{e}}$는 $A$의 포락 대수(틀:Llang)이다.

스킴 $(X,{𝒪}_X)$ 위의 아즈마야 대수 $𝒜$는 다음 조건을 만족시키는 ${𝒪}_X$-단위 결합 대수 층이다.틀:Rp

• $𝒜$는 ${𝒪}_X$-가군층으로서 연접층이며, 각 닫힌 점 $x\in X$에 대하여, 줄기 ${𝒜}_x$는 가환 국소환 ${𝒪}_{X,x}$ 위의 아즈마야 대수이다.

브라우어 군

스킴 $S$ 위의 두 아즈마야 대수 $𝒜$, ${𝒜}^{\prime }$에 대하여, 텐서곱 $𝒜{\otimes }_{{𝒪}_X}{𝒜}^{\prime }$ 역시 $S$ 위의 아즈마야 대수를 이룬다. 따라서, $S$ 위의 아즈마야 대수들은 텐서곱에 대하여 모노이드를 이룬다.

스킴 $S$ 위의 두 아즈마야 대수 $𝒜$, ${𝒜}^{\prime }$에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 ${𝒪}_X$-국소 자유 가군층 $ℰ$ 및 ${ℰ}^{\prime }$이 존재한다면, 서로 브라우어 동치(틀:Llang)라고 한다.틀:Rp

$𝒜{\otimes }_{{𝒪}_X}\underset{\_}{\mathrm{End}}{(}_{{𝒪}_X}ℰ)\cong {𝒜}^{\prime }{\otimes }_{{𝒪}_X}\underset{\_}{\mathrm{End}}{(}_{{𝒪}_X}{ℰ}^{\prime })$

이는 $S$-아즈마야 대수의 동치 관계를 이룬다. 브라우어 동치 관계는 텐서곱은 보존하며, 따라서 $S$-아즈마야 대수의 브라우어 동치류들은 모노이드를 이룬다. 이 모노이드는 사실 군을 이루며, 이를 $S$의 브라우어 군(틀:Llang) $\mathrm{Br}(S)$라고 한다. 브라우어 군에서, 아즈마야 대수의 동치류 $[𝒜]$의 역원은 그 반대 대수층의 동치류 $[{𝒜}^{\mathrm{op}}]$이다.

성질

체 위의 아즈마야 대수

체 $K$ 위의 단위 결합 대수 $f:K\to A$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $A$는 $K$ 위의 아즈마야 대수이다.
• $f$는 단사 함수이며, $\mathrm{Z}(A)=K$이며, ${\dim }_{K}A$는 유한하다.
• $A$는 양의 정수 차원 $K$-벡터 공간이며, 다음 조건을 만족시키는 유한 차수 분해 가능 확대 $L/K$ 및 양의 정수 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$이 존재한다.
  • $A{\otimes }_{K}L\cong \mathrm{Mat}(n;K)$

이와 같이, 체 위의 아즈마야 대수를 중심 단순 대수(中心單純代數, 틀:Llang)라고 한다.

가환환 위의 아즈마야 대수

가환환 $R$ 위의 단위 결합 대수 $A$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $A$는 $R$ 위의 아즈마야 대수이다.
• ${}_{R}A$는 충실한 가군이며, 사영 가군이며, $A{\otimes }_R{A}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{End}{(}_{R}A)$는 $R$-단위 결합 대수의 동형 사상이다.
• ${}_{R}A$는 유한 생성 가군이며, 모든 극대 아이디얼 $𝔪\subseteq R$에 대하여 $A/𝔪A$는 $R/𝔪$-중심 단순 대수이다.틀:Rp

스콜렘-뇌터 정리

스콜렘-뇌터 정리(틀:Llang)에 따르면, 아즈마야 대수의 모든 자기 동형은 내부 자기 동형이다.틀:Rp 즉, 스킴 $S$ 위의 아즈마야 대수 $𝒜$의 임의의 자기 동형 $f:𝒜\to 𝒜$에 대하여,

$f{|}_{U_i}:a\mapsto u_{i}a{u}_i^{-1}\mathrm{\forall }i\in I$

가 되는 $S$의 아핀 열린 덮개 $\{U_i{\}}_{i\in I}$ 및 $u_i\in \mathrm{Unit}(\mathrm{\Gamma }(U_i,𝒜))$가 존재한다. (여기서 $\mathrm{Unit}(-)$는 환의 가역원군을 뜻하며, $\mathrm{\Gamma }$는 층의 단면 집합을 뜻한다.)

특히, $S=\mathrm{Spec}K$가 체 $K$의 스펙트럼일 경우, 모든 $K$-중심 단순 대수 $A$의 자기 동형 $f:A\to A$에 대하여 $f:a\mapsto ua{u}^{-1}$가 되는 가역원 $u\in \mathrm{Unit}(A)$가 존재한다.

브라우어 군과 에탈 코호몰로지

스킴 $S$의 브라우어 군 $\mathrm{Br}S$에서 ${𝔾}_{\mathrm{m}}$ 계수의 2차 에탈 코호몰로지 군으로 가는 표준적인 단사 군 준동형이 존재한다.틀:Rp

$\iota :\mathrm{Br}S\to {\mathrm{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(S;{𝔾}_{\mathrm{m}})$

구체적으로, 이는 다음과 같다. $S$ 위의 아즈마야 대수 $𝒜$가 주어졌을 때, 작은 에탈 위치 $S_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$ 위에 다음과 같은 올범주 ${ℱ}_{𝒜}$이 존재한다. 에탈 위치의 대상 $({\iota }_U:(U,{𝒪}_U)\to (S,{𝒪}_S))\in S_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$에 대하여,

• 올 ${ℱ}_{𝒜}(U)$의 대상 $(ℰ,\alpha )$는 유한 차원 ${𝒪}_U$-국소 자유 가군층 $ℰ$와 동형 사상 $\alpha :\underset{\_}{\mathrm{End}}{(}_{{𝒪}_U}ℰ)\to 𝒜{\otimes }_{{𝒪}_S}{{\iota }_U}_{*}{𝒪}_U$의 순서쌍이다.
• 올 ${ℱ}_{𝒜}(U)$의 사상 $(E,\alpha )\to (E^{\prime },{\alpha }^{\prime })$은 적절한 가환 그림들을 만족시키는 동형 사상 $E\to E^{\prime }$이다.

이 올범주는 스택이자 제르브이며, ${𝔾}_{\mathrm{m}}$는 그 위에 다음과 같이 작용한다.

${𝔾}_{\mathrm{m}}(U)=\mathrm{\Gamma }(U,{𝒪}_U^{\times })\to {\mathrm{Aut}}_U(ℰ,\alpha )$

$(g\in \mathrm{\Gamma }(U,{𝒪}_U^{\times }))\mapsto (g\cdot :ℰ\to ℰ)$

따라서, 이 제르브는 2차 에탈 코호몰로지 군 ${\mathrm{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(S;{𝔾}_{\mathrm{m}})$의 원소를 표현한다.

또한, 만약 $S$가 오직 유한 개의 연결 성분만을 갖는다면, 단사 군 준동형 $\iota :\mathrm{Br}S\hookrightarrow {\mathrm{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(S;{𝔾}_{\mathrm{m}})$의 상은 꼬임 부분군 $\mathrm{Tors}({\mathrm{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(S;{𝔾}_{\mathrm{m}}))$에 속한다. 즉, 이 경우 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

$\mathrm{Br}S\subseteq \mathrm{Tors}({\mathrm{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(S;{𝔾}_{\mathrm{m}}))\subseteq {\mathrm{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^2(S;{𝔾}_{\mathrm{m}})$

수체 위의 중심 단순 대수

대수적 수체 $K$ 위의 중심 단순 대수 $A$가 주어졌다고 하자. 앨버트-브라우어-하세-뇌터 정리(틀:Llang)에 따르면, 만약 모든 자리 $v$에 대하여

$A{\otimes }_K{K}_v\cong \mathrm{Mat}({\dim }_{K}A;K_v)$

라면, $A\cong \mathrm{Mat}({\dim }_{K}A;K)$이다. 이는 대수적 수론의 국소-대역 원리의 한 예이다. 이에 따라, 대수적 수체 위의 중심 단순 대수의 분류는 국소체 위의 중심 단순 대수의 분류로 귀결된다.

역사

체 위의 아즈마야 대수(중심 단순 대수)는 나눗셈환의 분류의 일환으로 19세기 말부터 연구되어 왔다. 1878년에 페르디난트 게오르크 프로베니우스는 (현대적 용어로는) 실수체 $ℝ$의 브라우어 군 $\mathrm{Br}(ℝ)\cong \mathbb{Z}/2$을 계산하였다 (프로베니우스 정리). 조지프 웨더번은 1905년에 (현대적 용어로) 유한체의 브라우어 군이 자명하다는 것을 증명하였다 (웨더번 소정리). 그러나 웨더번의 첫 증명은 약간의 결함이 있었으며, 레너드 유진 딕슨이 최초로 올바른 증명을 발표하였다.

브라우어 군은 리하르트 브라우어가 1932년에 정의하였다.

아즈마야 고로가 1951년에 "고유 극대 중심 대수"(틀:Llang)라는 이름으로 도입하였다.틀:Rp틀:Rp (엄밀히 말해, 아즈마야는 이 용어를 정의할 때 자유 가군이어야 한다는 조건을 추가하였다.) 이후 1964~1965년 니콜라 부르바키 세미나에서 알렉산더 그로텐디크가 그 정의를 일반화하여 스킴 위의 아즈마야 대수를 정의하였고, "아즈마야 대수"라는 용어를 도입하였다.

같이 보기

• 제르브
• 유체론
• 대수적 K이론
• 모티브 코호몰로지

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab