사영 가군

틀:위키데이터 속성 추적 틀:대수 구조 환론에서 사영 가군(射影加群, 틀:Llang)은 자유 가군을 직합으로 분해하였을 때의 한 성분으로 나타낼 수 있는 가군이다. 가군의 범주에서의 사영 대상이다.

정의

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $P$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가군을 사영 왼쪽 가군이라고 한다.

• 모든 짧은 완전열 $0\to M\to N\to P\to 0$가 분할 완전열이다.
• $P\oplus Q$가 자유 가군인 왼쪽 가군 $Q$가 존재한다.
• 함자 $\mathrm{hom}(P,-):R\text{-Mod}\to \mathrm{Ab}$가 완전 함자이다. 여기서 $\mathrm{Ab}$는 아벨 군들의 범주이다.
• 모든 가군 준동형 $f:P\to M$ 및 전사 가군 준동형 $\pi :\tilde{M}\twoheadrightarrow M$에 대하여, $\pi \circ \tilde{f}=f$인 가군 준동형사상 $\tilde{f}:P\to \tilde{M}$이 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다. 즉, 보편 성질이 아니다.)

  $\begin{array}{ccc}& & P\\ & \mathrm{\exists }\swarrow & \downarrow \\ \tilde{M}& \to & M& \to & 0\end{array}$

마찬가지로, 오른쪽 가군에 대하여 사영 오른쪽 가군을 정의할 수 있다.

국소 자유 가군

가환환 $R$ 위의 가군 $M$이 다음 조건을 만족시킨다면 점별 자유 가군(틀:Llang)이라고 한다.

• 모든 소 아이디얼 $𝔭\in \mathrm{Spec}R$에 대하여 $R_{𝔭}{\otimes }_{R}M$은 $R_{𝔭}$-자유 가군이다.

가환환 $R$ 위의 가군 $M$이 다음 조건을 만족시킨다면 국소 자유 가군(틀:Llang)이라고 한다.

• 모든 소 아이디얼 $𝔭\in \mathrm{Spec}R$에 대하여, $R_f{\otimes }_{R}M$가 $R_f$-자유 가군이 되는 $f\in R\setminus 𝔭$가 존재한다.

이 개념들은 가군층에 대하여 일반화할 수 있다. 일반적으로, 환 달린 공간 $(X,{𝒪}_X)$ 위의 ${𝒪}_X$-가군층 $ℱ$가 다음 조건을 만족시킨다면, 점별 자유 가군층(틀:Llang)이라고 한다.

• 모든 점 $x\in X$에 대하여 줄기 ${ℱ}_x$는 ${𝒪}_{X,x}$-자유 가군이다.

환 달린 공간 $(X,{𝒪}_X)$ 위의 ${𝒪}_X$-가군층 $ℱ$가 다음 조건을 만족시킨다면, 국소 자유 가군층(局所自由加群層, 틀:Llang, 틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

• 모든 점 $x\in X$에 대하여, $ℱ{|}_U\cong {𝒪}_X^{\oplus \kappa }{|}_U$가 되는 열린 근방 $U\ni x$ 및 기수 $\kappa$가 존재한다.

국소 자유 가군층의 기하학적 정의

스킴 $Y$ 위의, 계수 $n\in \mathbb{N}$의 대수적 벡터 다발(틀:Llang)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 스킴 $E$
• 스킴 사상 $\pi :E\to Y$
• 열린 덮개 $𝒰$
• 각 $U\in 𝒰$에 대하여, 스킴 동형 사상 $i_U:f^{-1}(U)\to {𝔸}_U^n={𝔸}_{\mathbb{Z}}^n\times U$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• 임의의 $U,V\in 𝒰$ 및 임의의 아핀 열린집합 $\mathrm{Spec}R\hookrightarrow U\cap V$에 대하여, $i_V\circ i_U^{-1}:{𝔸}_{\mathrm{Spec}R}^n\to {𝔸}_{\mathrm{Spec}R}^n$는 어떤 $R$-선형 변환 $T_{U,V,R}\in \mathrm{Mat}(n,n;R)$에 의하여 유도된다.

$Y$ 위의 대수적 벡터 다발의 동형 사상

$\varphi :(E,\pi ,𝒰,i)\to (E^{\prime },\pi ,{𝒰}^{\prime },i^{\prime })$

은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $Y$-스킴의 동형 사상 $\varphi :E\to E^{\prime }$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• $(E,\pi ,𝒰\cup {𝒰}^{\prime },(i,i^{\prime }))$는 대수적 벡터 다발을 이룬다. 즉, 임의의 $U\in 𝒰$, $U^{\prime }\in {𝒰}^{\prime }$ 및 $\mathrm{Spec}R\hookrightarrow U\cap U^{\prime }$에 대하여, $i_{U^{\prime }}\circ i_U^{-1}:{𝔸}_R^n\to {𝔸}_R^n$는 어떤 $\mathrm{Mat}(n,n;R)$의 원소에 의하여 유도된다.

이 경우, 계수 $n$의 대수적 벡터 다발의 개념은 계수 $n$의 국소 자유 가군층의 개념과 동치이다.틀:Rp 구체적으로, 대수적 벡터 다발 $\pi :E\to Y$에 대응되는 가군층은 다음과 같다.

$\mathrm{\Gamma }(E,U)=\{s:U\to E:\pi \circ s={\mathrm{id}}_U\}(U\in \mathrm{Open}(Y))$

성질

일반적 환의 경우

(비가환일 수 있는, 1을 갖는) 환 $R$ 위의 왼쪽 가군 ${}_{R}M$에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

자유 가군 ⊂ 사영 가군 ⊂ 평탄 가군 ⊂ 꼬임 없는 가군

가환환의 경우

국소 가환환이나 주 아이디얼 정역의 경우, 모든 사영 가군은 자유 가군이다.

가환환 위의 가군에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다.

사영 가군 ⊂ 점별 자유 가군

국소 자유 가군 ⊂ 점별 자유 가군

가환환 위의 유한 생성 가군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 사영 가군이다.
• 국소 자유 가군이다.

세르-스완 정리에 따르면, 가환환 $R$ 위의 유한 생성 사영 가군의 범주는 $\mathrm{Spec}(R)$ 위의 유한 계수 국소 자유 가군층들의 범주와 동치이다.

가환환 위의 유한 표시 가군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 국소 자유 가군이다.
• 점별 자유 가군이다.
• 사영 가군이다.
• 평탄 가군이다.

특히, 뇌터 가환환 위의 모든 유한 생성 가군은 유한 표시 가군이므로, 이 경우 위 조건들이 서로 동치이게 된다.

계수

점별 자유 가군층 $ℱ$의 $x\in X$에서의 계수(틀:Llang)는 ${𝒪}_{X,x}$-자유 가군 ${ℱ}_x$의 계수이며, 이는 함수

$\dim M:X\to \mathrm{Card}$

를 정의한다. (여기서 $\mathrm{Card}$는 모든 기수의 모임이다.)

$\mathrm{Card}$(의 충분히 큰 부분 집합)에 이산 위상을 부여하였을 때, 만약 $ℱ$가 국소 자유 가군층이라면 계수 함수 $\dim M:X\to \mathrm{Card}$는 (정의에 따라) 연속 함수이다.

예

$e\in R$가 멱등원이라고 하자 (즉, $e^2=e$를 만족시킨다고 하자). 그렇다면 $e$로부터 생성되는 왼쪽 아이디얼 $Re$는 $R$의 사영 왼쪽 가군이다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용