스틴로드 대수

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 위상수학에서 스틴로드 대수(Steenrod代數, 틀:Llang)는 유한체 계수의 안정 코호몰로지 연산들로 구성되는 호프 대수이다.

정의

소수 $p$에 대하여, 스틴로드 대수는 안정 코호몰로지 연산으로 구성된, ${𝔽}_p$ 위의 등급 호프 대수이다.

홀수 표수

홀수 소수 $p$에 대하여, ${𝔽}_p$ 위의 스틴로드 대수는 다음과 같은 원소들로 생성된다.

${\mathrm{P}}^i:{\mathrm{H}}^n(X;{𝔽}_p)\to H^{n+2i(p-1)}(X;{𝔽}_p)$

$\beta :{\mathrm{H}}^n(X;{𝔽}_p)\to {\mathrm{H}}^{H+1}(X;{𝔽}_p)$

${\mathrm{P}}^i$는 $i$차 스틴로드 축소 거듭제곱(틀:Llang)이라고 한다. $\beta$는 아벨 군 짧은 완전열 $0\to \mathbb{Z}/p\to \mathbb{Z}/p^2\to {\mathbb{Z}}_p\to 0$에 대응하는 복시테인 준동형이다.

이들은 다음 공리들로 유일하게 정의된다.

• ${\mathrm{P}}^i$는 자연 변환 ${\mathrm{H}}^n(-;{𝔽}_p)\to {\mathrm{H}}^{n+2i(p-1)}(-;{𝔽}_p)$을 정의한다.
• ${\mathrm{P}}^0$은 항상 항등 함수이다.
• ${\mathrm{P}}^i{|}_{{\mathrm{H}}^{2i}(-;{𝔽}_p)}:\alpha \mapsto {\alpha }^{⌣p}$이다.
• 만약 $2i>n$이라면 ${\mathrm{P}}^i{|}_{{\mathrm{H}}^n(X;{𝔽}_p)}=0$이다.
• (카르탕 공식 틀:Llang) ${\mathrm{P}}^n(\alpha ⌣\beta )=\sum _{i+j=n}{\mathrm{P}}^i\alpha ⌣{\mathrm{P}}^j\beta$이다.

짝수 표수

${𝔽}_2$ 위의 스틴로드 대수는 다음과 같은 원소들로 생성된다.

${\mathrm{Sq}}^i:{\mathrm{H}}^n(X;{𝔽}_2)\to H^{n+i}(X;{𝔽}_2)$

이를 $i$차 스틴로드 제곱(틀:Llang)이라고 한다. (짝수 표수의 경우, ${\mathrm{P}}^i={\mathrm{Sq}}^{2i}$이며 $\beta ={\mathrm{Sq}}^1$이다.)

이들은 다음 공리들로 유일하게 정의된다.

• ${\mathrm{Sq}}^i$는 자연 변환 ${\mathrm{H}}^n(-;{𝔽}_p)\to {\mathrm{H}}^{n+2i(p-1)}(-;{𝔽}_p)$을 정의한다.
• ${\mathrm{Sq}}^0$은 항상 항등 함수이다.
• ${\mathrm{Sq}}^i{|}_{{\mathrm{H}}^i(-;{𝔽}_p)}:\alpha \mapsto {\alpha }^{⌣2}$이다.
• 만약 $i>n$이라면 ${\mathrm{Sq}}^i{|}_{{\mathrm{H}}^n(X;{𝔽}_p)}=0$이다.
• (카르탕 공식 틀:Llang) ${\mathrm{Sq}}^n(\alpha ⌣\beta )=\sum _{i+j=n}{\mathrm{Sq}}^i\alpha ⌣{\mathrm{Sq}}^j\beta$이다.

구성

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 크기 $n$의 집합 위에 자유롭게 작용하는 유한군 $G$
• 위상 공간 $X$

그렇다면, $n$제곱 함수

${\mathrm{H}}^i(X)\to {\mathrm{H}}^{ni}(X)$

$\alpha \mapsto {\alpha }^{⌣n}$

를 생각하자. (만약 코호몰로지가 소수 크기 유한체 ${𝔽}_p$ 계수이며 $n=p$라면 이는 프로베니우스 사상이며, ${𝔽}_p$-선형 변환을 이룬다. 그러나 일반적으로 이는 선형이 아니다.) 이는 다음과 같이 분해될 수 있다.

$\begin{array}{ccccc}{\mathrm{H}}^i(X)& \to & {\mathrm{H}}^{ni}(\mathrm{E}G{\times }_G{X}^n)& \to & {\mathrm{H}}^{ni}(X^n)\\ & & \downarrow & & \downarrow \\ & & {\mathrm{H}}^{ni}(\mathrm{B}G\times X)& \to & {\mathrm{H}}^{ni}(X)\end{array}$

여기서 각 사상은 다음과 같다.

• ${\mathrm{diag}}_X^{*}:{\mathrm{H}}^{\bullet }(X^n)\to {\mathrm{H}}^{\bullet }(X^n)$는 코호몰로지에 의한 ${\mathrm{diag}}_X:X\to X^n$의 당김이다.
• ${\mathrm{H}}^i(X)\to {\mathrm{H}}^{ni}(\mathrm{E}G{\times }_G{X}^n)={\mathrm{H}}_G^{ni}(X^n)$: $\alpha \in {\mathrm{H}}^i(X)$에 대하여, ${\alpha }^{\times p}\in {\mathrm{H}}^{ni}(X^n)$을 정의하자. 이는 $G$의 $X^n$ 위의 작용에 대하여 불변이므로, 등변 코호몰로지 ${\mathrm{H}}_G^{ni}(X^n)$에 속한다.
• $({\mathrm{id}}_{\mathrm{B}G},{\mathrm{diag}}_X{)}^{*}:{\mathrm{H}}^{\bullet }(\mathrm{E}G{\times }_G{X}^n)\to {\mathrm{H}}^{\bullet }(\mathrm{B}G\times X)$는 코호몰로지에 의한 $({\mathrm{id}}_{\mathrm{B}G},{\mathrm{diag}}_X):\mathrm{B}G\times X\to \mathrm{B}G\times X^n$의 당김이다. ${\mathrm{diag}}_X(X)\subseteq X^n$는 $G$의 작용의 고정점으로 구성되므로, $\mathrm{E}G{\times }_G{\mathrm{diag}}_X(X^n)=\mathrm{B}G\times X$이다.
• ${\mathrm{H}}^{\bullet }(\mathrm{E}G{\times }_G{X}^n)\to {\mathrm{H}}^{\bullet }(\mathrm{E}G\times X^n)\cong {\mathrm{H}}^{\bullet }(X^n)$: 몫공간 사상 $q:\mathrm{E}G\times X^n\twoheadrightarrow \mathrm{E}G{\times }_G{X}^n$의 코호몰로지에 의한 당김이다.
• ${\mathrm{H}}^{\bullet }(\mathrm{B}G\times X)\to {\mathrm{H}}^{\bullet }(X)$는 생성원 $\alpha \in {\mathrm{H}}_0(\mathrm{B}G)$와의 경사곱이다.

이제, $n=p$가 소수이며 $G=\mathrm{Cyc}(p)$가 순환군이라고 하자. 그렇다면

$\mathrm{B}\mathrm{Cyc}(p)={𝕊}^{\mathrm{\infty }}/\mathrm{Cyc}(p)$

이다.

특히, $p=2$인 경우 분류 공간은 무한 실수 사영 공간

$\mathrm{B}\mathrm{Cyc}(2)={𝕊}^{\mathrm{\infty }}/\mathrm{Cyc}(2)={ℝ\mathbb{P}}^{\mathrm{\infty }}$

이며, 그 ${𝔽}_2$ 계수 코호몰로지는

${\mathrm{H}}^{\bullet }({ℝ\mathbb{P}}^{\mathrm{\infty }};{𝔽}_2)={𝔽}_2[w_1],\mathrm{deg}{w}_1=1$

이다. (여기서 $w_1$은 자명한 실수 선다발의 슈티펠-휘트니 특성류이다.) 체 계수의 퀴네트 정리에 따라서

${\mathrm{H}}^{\bullet }(\mathrm{B}G\times X;{𝔽}_p)={\mathrm{H}}^{\bullet }(X;{𝔽}_p)[w_1](\mathrm{deg}{w}_1=1)$

이다. 따라서, 합성

$\mathrm{Sq}:{\mathrm{H}}^i(X;{𝔽}_2)\to {\mathrm{H}}^{2i}({ℝ\mathbb{P}}^{\mathrm{\infty }}\times X;{𝔽}_2)$

을

$\mathrm{Sq}=\sum _{k=0}^i{\mathrm{Sq}}^k{w}_1^{i-k}$

로 전개한다면 스틴로드 제곱

${\mathrm{Sq}}^k:{\mathrm{H}}^i(X;{𝔽}_p)\to {\mathrm{H}}^{i+k}(X;{𝔽}_p)$

을 얻는다.

마찬가지로, $p$가 홀수 소수일 경우를 생각하면 스틴로드 축소 거듭제곱을 얻는다.

성질

아뎀 관계

스틴로드 대수는 아뎀 관계(틀:Llang)라는 관계들을 만족시킨다.

이들은 다음과 같다. $p=2$일 경우, 다음과 같은 생성 함수를 정의하자.

$\mathrm{Sq}(t)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{t}^i{\mathrm{Sq}}^i$

그렇다면, 아뎀 관계는 다음과 같다.

$\mathrm{Sq}(s^2+st)\mathrm{Sq}(t^2)=\cdots [s\leftrightarrow t]$

여기서 우변은 좌변과 같지만, $s$와 $t$를 서로 바꾼 것이다.

$p>2$일 경우, 다음과 같은 생성 함수를 정의하자.

$\mathrm{P}(t)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{t}^i{\mathrm{P}}^i$

그렇다면, 아뎀 관계는 다음과 같다.

$(1+s\mathrm{Ad}\beta )\mathrm{P}(t^p+t^{p-1}s+\cdots +t{s}^{p-1})\mathrm{P}(s^p)=\cdots [s\leftrightarrow t]$

여기서 $(\mathrm{Ad}\beta )\mathrm{P}=\beta \mathrm{P}-\mathrm{P}\beta$이며, 우변은 좌변과 같지만, $s$와 $t$를 서로 바꾼 것이다.

애덤스 스펙트럼 열

유한 차원 CW 복합체 $X$, $Y$가 주어졌을 때, ${𝔽}_p$ 계수의 코호몰로지 군은 스틴로드 대수 $A_p$ 위의 가군을 이룬다. 이 경우, 애덤스 스펙트럼 열(틀:Llang)은 다음과 같은 스펙트럼 열이다.

$E_2^{p,q}={\mathrm{Ext}}_{A_p}^{p,q}({\mathrm{H}}^{\bullet }(Y;{𝔽}_p),{\mathrm{H}}^{\bullet }(X;{𝔽}_p))$

이는 호모토피 군 $[X,Y]$의 $p$차 꼬임 부분군으로 수렴한다.

특히, $X$와 $Y$가 초구일 때, 애덤스 스펙트럼 열은 초구의 호모토피 군을 계산한다.

역사

$p=2$의 경우는 노먼 스틴로드가 1947년에 도입하였고, $p>2$인 경우는 노먼 스틴로드가 1953년에 도입하였다.

아뎀 관계는 멕시코의 수학자 호세 아뎀 차인(틀:Llang, 1921~1991)이 1952년에 도입하였다. 애덤스 스펙트럼 열은 1958년에 존 프랭크 애덤스가 도입하였다.

같이 보기

• 코호몰로지 연산

각주

• 틀:서적 인용

외부 링크

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