복시테인 준동형

틀:위키데이터 속성 추적 호몰로지 대수학에서 복시테인 준동형(Бокштейн準同型, 틀:Llang)은 아벨 군의 짧은 완전열에 의하여 생성되는 코호몰로지 연산이다.

정의

공사슬 복합체의 짧은 완전열이 주어졌다고 하자.

$0\to C^{\bullet }\stackrel{\iota }{\to }{D}^{\bullet }\stackrel{\pi }{\to }{E}^{\bullet }\to 0$

그렇다면, 지그재그 보조정리를 사용해 다음과 같은 코호몰로지 긴 완전열을 만들 수 있다.

$\mathrm{\Sigma }{\mathrm{H}}_{\bullet }(E)\stackrel{\beta }{\to }{\mathrm{H}}^{\bullet }(C)\stackrel{{\iota }_{*}}{\to }{\mathrm{H}}^{\bullet }(D)\stackrel{{\pi }_{*}}{\to }{\mathrm{H}}_{\bullet }(E)$

연결 사상 $\beta$을 복시테인 준동형이라고 한다. 여기서

$(\mathrm{\Sigma }C{)}_{\bullet }=C_{\bullet -1}$

는 사슬 복합체의 현수이다.

사슬 복합체의 호몰로지의 경우에도 마찬가지로 복시테인 준동형이 존재한다. 일반적으로, 원래 (공)사슬 복합체의 등급이 $\mathrm{deg}d$라면, 복시테인 준동형의 등급 역시 $\mathrm{deg}d$이다.

복시테인 스펙트럼 열

공사슬 복합체 $C_{\bullet }$의, 등급 $n$의 단사 자기 사상

$f:{\mathrm{\Sigma }}^n{C}^{\bullet }\to C^{\bullet }$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 짧은 완전열을 적을 수 있다.

$0\to {\mathrm{\Sigma }}^n{C}^{\bullet }\stackrel{f}{\to }{C}^{\bullet }\stackrel{q}{\to }\mathrm{coker}f\to 0$

그렇다면, 이에 대한 코호몰로지를 취하면 다음과 같은 완전쌍을 얻는다.

${\mathrm{\Sigma }}^n{\mathrm{H}}^{\bullet }(C)\stackrel{f_{*}}{\to }{\mathrm{H}}^{\bullet }(C)\stackrel{q_{*}}{\to }{\mathrm{H}}_{\bullet }(\mathrm{coker}f)\stackrel{\beta }{\to }{\mathrm{\Sigma }}^{-1}{\mathrm{H}}_{\bullet }(\mathrm{coker}f)$

이에 대하여 유도되는 스펙트럼 열을 복시테인 스펙트럼 열(Бокштейн spectrum列, 틀:Llang)이라고 하며, 그 첫 쪽은 다음과 같다.틀:Rp

$E_1^{p,q}=\{\begin{array}{cc}{\mathrm{H}}^{p(1-n)+q}(\mathrm{coker}f)& p\ge 0\\ 0& p<0\end{array}$

$d^n=q_{*}\circ \beta$

$\mathrm{deg}{d}^n=(r,1-r)$

만약 $n>0$이며 ${\mathrm{H}}^{\bullet }(\mathrm{coker}f)$가 하계를 갖는다면 (즉, $\{n\in \mathbb{Z}:{\mathrm{H}}^n(\mathrm{coker}f)\ne 0\}$가 하계를 갖는다면), 이는 다음으로 수렴한다.틀:Rp

$E_n^{p,q}\Rightarrow {\mathrm{H}}^{p+q}(C)$

마찬가지로 호몰로지의 경우에도 복시테인 스펙트럼 열을 적을 수 있다.

예

스틴로드 연산

가장 흔히 쓰이는 복시테인 준동형은 다음 짧은 완전열로부터 유도한, 코호몰로지에 대한 준동형들이다.

$0\to \mathbb{Z}/n\to \mathbb{Z}/n^2\to \mathbb{Z}/n\to 0$

그렇다면, 위상 공간 $X$ 위의 특이 사슬 복합체에 대하여 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

$0\to C(X)\otimes \mathbb{Z}/n\to C(X)\otimes \mathbb{Z}/n^2\to C(X)\otimes \mathbb{Z}/n\to 0$

이로부터 다음과 같은 복시테인 준동형을 유도한다.

$\beta :H^n(X,\mathbb{Z}/n)\to H^{n+1}(X,\mathbb{Z}/n)$

이는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.

• ${\beta }^2=0$ ($n$은 3 이상의 소수)
• $\beta (a⌣b)=\beta (a)⌣b+(-{)}^{\mathrm{deg}a}a⌣\beta (b)$

따라서, 이 복시테인 준동형은 (등급 달린) 라이프니츠 법칙을 만족시키는 (등급) 미분을 이룬다.

정수 슈티펠-휘트니 특성류

이와 비슷하게, 짧은 완전열

$0\to \mathbb{Z}/n\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\to 0$

에 대한 복시테인 준동형

$\beta :H^n(X,\mathbb{Z}/n)\to H^{n+1}(X,\mathbb{Z})$

또한 쓰인다. 예를 들어, 정수 슈티펠-휘트니 특성류 $W^n(X)\in H^n(X,\mathbb{Z})$는 (일반) 슈티펠-휘트니 특성류 $w^{n-1}(X)\in H^{n-1}(X,\mathbb{Z}/2)$에 복시테인 준동형을 가하여 얻는다.

역사

메예르 펠릭소비치 복시테인(틀:Llang, 1913~1990)이 도입하였다.

각주

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab