스핀C 다양체

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 스핀C 다양체(spin多樣體, 틀:Llang)는 그 직교 틀다발이 스핀C 군에 대한 주다발로의 올림을 갖춘 준 리만 다양체이다. 스핀C 구조는 자이베르그-위튼 방정식 등을 정의하기 위한 필요 조건이다.

정의

스핀C 구조(틀:Lang)의 정의는 스핀 구조의 정의와 유사하지만, 스핀 군 대신 스핀C 군을 사용한다.

즉, $n$차원 가향 준 리만 다양체 $(M,g)$ 위의 스핀C 구조(틀:Llang)는 다음 조건을 따르는 Spin(n)^c-주다발 ${\pi }_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{c}}}:P_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{c}}}(M)\twoheadrightarrow M$과 주다발 사상 $p:P_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{c}}}(M)\to P_{\mathrm{SO}}(M)$으로 구성된다.

• ${\pi }_{\mathrm{SO}}\circ p={\pi }_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{c}}}$
• 임의의 $x\in P_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{c}}}$, $h\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{c}}(n)$에 대하여 $p(x\cdot h)=p(x)\cdot \rho (h)$이다. (여기서 $\cdot$은 적절한 군의 작용이며, $\rho :\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{c}}(n)\twoheadrightarrow \mathrm{SO}(n)$은 군 준동형이다.) 즉 군의 작용은 $p$와 가환한다.

성질

매끄러운 다양체 $M$ 위에 스핀C 구조가 존재할 필요 충분 조건은 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류

$W_3(M)=\beta w_2(M)\in {\mathrm{H}}^3(M;\mathbb{Z})$

가 0인지 여부이다. 여기서 $\beta$는 복시테인 준동형

$\beta :{\mathrm{H}}^2(M;\mathbb{Z}/2)\to {\mathrm{H}}^3(M;\mathbb{Z})$

이다.

분류

만약 다양체 $M$ 위에 스핀C 구조가 존재할 수 있다면, 가능한 스핀C 구조들의 공간은 ${\mathrm{H}}^2(M;\mathbb{Z})$ 위의 아핀 공간이다.

이는 직관적으로 다음과 같이 해석할 수 있다. 아벨 군의 짧은 완전열

$0\to \mathbb{Z}\stackrel{\cdot 2}{\hookrightarrow }\mathbb{Z}\stackrel{+2\mathbb{Z}}{\twoheadrightarrow }\mathbb{Z}/2\to 0$

을 생각하자. 이에 따라, 지그재그 보조정리를 사용하여 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다.

$\cdots \to {\mathrm{H}}^2(M,\mathbb{Z})\stackrel{\cdot 2}{\to }{\mathrm{H}}^2(M;\mathbb{Z})\stackrel{mod2}{\to }{\mathrm{H}}^2(M;\mathbb{Z}/2)\stackrel{\beta }{\to }{\mathrm{H}}^3(M;\mathbb{Z})\to \cdots$

여기서 $\beta$는 복시테인 준동형이다.

스핀C 구조는 원래 방해물(obstruction)에 막혀 스핀 구조를 이루지 못하는 구조를, 같은 방해물에 막혀 U(1) 주다발을 이루지 못하는 구조로 뒤틀어(twist) 만든 것이다. U(1) 주다발들은 그 천 특성류 $c_2\in H^2(M,\mathbb{Z})$에 의하여 분류된다. 이는 위 긴 완전열에서 첫 $H^2(M,\mathbb{Z})$에 해당하며, 이는 두 번째 $H^2(M,\mathbb{Z})$에서 $\cdot 2$의 상에 해당한다. 반면, 방해물에 막힌 U(1) ‘주다발’은 두 번째 $H^2(M,\mathbb{Z})$에서 $\cdot 2$의 상에 속하지 않은 원소들이다. 이 원소를 $\alpha \in H^2(M;\mathbb{Z})$라고 하자. 스핀 구조의 방해물은 2차 슈티펠-휘트니 특성류 $w_2\in H^2(M;\mathbb{Z}/2)$이므로, 이 방해물이 U(1) ‘주다발’의 방해물 $\alpha$와 같으려면 $mod2$에 따른 $\alpha$의 상이 $w_2$이어야 한다. 완전열의 성질에 의하여, 이 조건은 $w_2$의 복시테인 준동형에 따른 상 $\beta w_2=W_3\in {\mathrm{H}}^3(M,\mathbb{Z})=0$인 조건과 동치이다.

예

다음과 같은 다양체들은 적어도 하나의 스핀C 구조를 갖는다.

• 모든 4차원 이하 콤팩트 유향 다양체는 스핀C 구조를 갖는다.
• 모든 개복소 다양체는 스핀C 구조를 갖는다. 이 경우 대응되는 복소수 선다발은 복소수 접다발 ${\mathrm{T}}^{+}M$의 행렬식 선다발 ${\bigwedge }^{{\dim }_{ℂ}M}{\mathrm{T}}^{+}M$이다.
• 모든 스핀 다양체는 스핀C 구조를 갖는다. 이 경우 대응되는 복소수 선다발은 자명한 다발이다.

외부 링크

• 틀:Nlab
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