꼬임 없는 가군

틀:위키데이터 속성 추적 환론에서 꼬임 없는 가군(틀:Llang)은 $r \in R$ 및 $m \in M$ 에 대하여 "특별한 이유가 없다면" $r m \neq 0$ 인 가군 $_{R} M$ 이다. 마찬가지로, 나눗셈 가군(틀:Llang)은 $r \in R$ 및 $m \in M$ 에 대하여 "특별한 이유가 없다면" $r^{- 1} m$ 이 (유일하지 않을 수 있게) 존재하는 가군 $_{R} M$ 이다. 꼬임 없는 가군의 개념과 나눗셈 가군의 개념은 서로 쌍대 개념이다.

보다 구체적으로, 임의의 환 $R$ 및 왼쪽 가군 $M$ 에서, 임의의 $r, s \in R$ 에 대하여 만약 $r s = 0$ 이라면, 당연히 $r (s M) = 0$ 이다. 따라서, 임의의 $m \in M$ 에 대하여 $r m \neq 0$ 일 필요 조건은 $m \in̸ s M$ 인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, $M$ 을 꼬임 없는 가군이라고 한다.

마찬가지로, 임의의 환 $R$ 및 왼쪽 가군 $M$ 에서, 임의의 $s, r \in R$ 에 대하여 $s r = 0$ 이라고 하자. 그렇다면 $s (r M) = 0$ 이므로, 임의의 $m \in M$ 에 대하여 $r^{- 1} m$ 이 존재할 필요 조건은 $s m = 0$ 인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, $M$ 을 나눗셈 가군이라고 한다.

정의

환 $R$ 의 왼쪽 가군 $_{R} M$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 나눗셈 왼쪽 가군(틀:Llang)이라고 한다.

임의의 $r \in R$ 및 $m \in M$ 에 대하여, $Ann (_{R} r) m = 0$ 이라면, $m \in r M$ 이다.^[1]틀:Rp^[2]틀:Rp
임의의 $r \in R$ 에 대하여, ${Ext}_{R}^{1} (R / R r, M) = 0$ 이다.^[1]틀:Rp

환 $R$ 의 왼쪽 가군 $_{R} M$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 꼬임 없는 왼쪽 가군(틀:Llang)이라고 한다.

임의의 $r \in R$ 및 $m \in M$ 에 대하여, $m \in̸ Ann (r_{R}) M$ 이라면, $r m \neq 0$ 이다.^[1]틀:Rp^[3]틀:Rp
임의의 $r \in R$ 에 대하여, ${Tor}_{1}^{R} (R / r R, M) = 0$ 이다.^[1]틀:Rp
임의의 $r \in R$ 에 대하여, 자연스러운 군 준동형 $r R \otimes_{R} M \to r M$ 은 아벨 군의 동형이다.^[3]틀:Rp

여기서

Ann (_{R} r) = {s \in R : s r = 0}

Ann (r_{R}) = {s \in R : r s = 0}

는 각각 $r$ 의 왼쪽·오른쪽 소멸자이며,

Ann (r_{R}) M = {s_{1} m_{1} + s_{2} m_{2} + \dots + s_{k} m_{k} : k \in ℕ, \vec{s} \in R^{k}, \vec{m} \in M^{k}}

이며, Tor는 Tor 함자이며, Ext는 Ext 함자이다.

성질

모든 왼쪽 단사 가군은 항상 왼쪽 나눗셈 가군이다. 반대로, 만약 모든 왼쪽 아이디얼이 주 왼쪽 아이디얼이라면, 모든 왼쪽 나눗셈 가군은 왼쪽 단사 가군이다.^[1]틀:Rp^[2]틀:Rp 이는 왼쪽 가군 $M$ 이 단사 가군일 필요충분조건은 모든 왼쪽 아이디얼 $_{R} 𝔄$ 에 대하여 ${Ext}_{R}^{1} (R / 𝔄, M) = 0$ 인 것이기 때문이다.^[4]틀:Rp

환 $R$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 폰 노이만 정칙환(틀:Llang) 또는 절대 평탄환(틀:Llang)이라고 한다.

임의의 $r \in R$ 에 대하여, $r = r s r$ 인 $s \in R$ 가 존재한다.
모든 $R$ -왼쪽 가군은 꼬임 없는 왼쪽 가군이다.^[1]틀:Rp
모든 $R$ -오른쪽 가군은 꼬임 없는 오른쪽 가군이다.^[1]틀:Rp
모든 $R$ -왼쪽 가군은 나눗셈 왼쪽 가군이다.^[1]틀:Rp
모든 $R$ -오른쪽 가군은 나눗셈 오른쪽 가군이다.^[1]틀:Rp
모든 $R$ -왼쪽 가군은 평탄 왼쪽 가군이다.
모든 $R$ -왼쪽 가군은 평탄 오른쪽 가군이다.
모든 주 왼쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 $r \in R$ 에 대하여, $R r = R e$ 이자 $e^{2} = e$ 인 $e \in R$ 가 존재한다.
모든 주 오른쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 $r \in R$ 에 대하여, $r R r = e R$ 이자 $e^{2} = e$ 인 $e \in R$ 가 존재한다.
모든 유한 생성 왼쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{k} \in R$ 에 대하여, $R r_{1} + R r_{2} + \dots + R r_{k} = R e$ 이자 $e^{2} = e$ 인 $e \in R$ 가 존재한다.
모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼은 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{k} \in R$ 에 대하여, $R r_{1} + R r_{2} + \dots + R r_{k} = R e$ 이자 $e^{2} = e$ 인 $e \in R$ 가 존재한다.

평탄 가군과의 관계

모든 왼쪽 평탄 가군 $_{R} M$ 은 항상 꼬임 없는 가군이다. 반대로, 만약 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼이 주 오른쪽 아이디얼이라면 (예를 들어, 베주 정역의 경우), 모든 왼쪽 꼬임 없는 가군은 왼쪽 평탄 가군이다.^[1]틀:Rp^[2]틀:Rp 이는 왼쪽 가군 $M$ 이 평탄 가군일 필요충분조건은 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼 $𝔄_{R}$ 에 대하여 ${Tor}_{R}^{1} (R / 𝔄, M) = 0$ 인 것이기 때문이다.

꼬임 없는 왼쪽 가군 $_{R} M$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^[3]틀:Rp

평탄 왼쪽 가군이다.
임의의 오른쪽 아이디얼 $𝔄_{R}, 𝔅_{R} \subseteq R$ 에 대하여, $𝔄 M \cap 𝔅 M = (𝔄 \cap 𝔅) M$ 이다.
임의의 유한 생성 오른쪽 아이디얼 $𝔄_{R}, 𝔅_{R} \subseteq R$ 에 대하여, $𝔄 M \cap 𝔅 M = (𝔄 \cap 𝔅) M$ 이다.

여기서

𝔄 M = {a_{1} m_{1} + a_{2} m_{2} + \dots + a_{k} m_{k} : k \in ℕ, \vec{a} \in 𝔄^{k}, \vec{m} \in M^{k}}

이다.

각주

틀:각주

틀:서적 인용

외부 링크

틀:전거 통제

↑ ^1.00 ^1.01 ^1.02 ^1.03 ^1.04 ^1.05 ^1.06 ^1.07 ^1.08 ^1.09 틀:저널 인용
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 틀:서적 인용
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 틀:서적 인용
↑ 틀:서적 인용

[Hattori-1] 1.00 ^1.01 ^1.02 ^1.03 ^1.04 ^1.05 ^1.06 ^1.07 ^1.08 ^1.09 틀:저널 인용

[Lam-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 틀:서적 인용

[Tuganbaev-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 틀:서적 인용

[4] 틀:서적 인용

[1]

[2]

[3]

[4]

꼬임 없는 가군

목차

정의

성질

평탄 가군과의 관계

각주

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