브라우너 공간

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학에서 브라우너 공간(Brauner空間, 틀:Llang)은 모든 콤팩트 집합을 포함하는 콤팩트 집합렬을 갖는 완비 콤팩트 생성 국소 볼록 공간 $X$이다. 스테레오 공간의 이론에서, 프레셰 공간의 개념의 쌍대 개념이다.

정의

$𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$라고 하자.

$𝕂$-국소 볼록 공간 $X$가 다음 조건들을 모두 만족시킨다면, $𝕂$-브라우너 공간이라고 한다.

• $X$는 (균등 공간으로서) 완비 균등 공간이다. (여기서 사용된 균등 공간 구조는 아벨 위상군의 표준적 균등 공간 구조이다.)
• 콤팩트 생성 하우스도르프 공간이다.
• 반콤팩트 공간이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 $K_0\subseteq K_1\subseteq K_2\subseteq \cdots \subseteq X$이 존재한다. (그러나 이 데이터는 브라우너 공간의 정의에 포함되지 않는다.)

  임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq X$에 대하여, $K\subseteq K_i$인 자연수 $i\in \mathbb{N}$가 존재한다. (즉, $\min \{i\in \mathbb{N}:K\subseteq K_i\}<\mathrm{\infty }$이다.)

성질

임의의 $𝕂$-위상 벡터 공간 $X$의 연속 쌍대 공간 $X^{*}$ 위에, $X$의 모든 완전 유계 집합에서 균등 수렴하는 위상을 부여한 것을 스테레오 쌍대 공간(틀:Llang)이라고 하자.

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 스테레오 공간 $X$이 브라우너 공간이다.
• 스테레오 쌍대 공간 $X^{*}$은 프레셰 공간이다.

즉, 브라우너 공간의 개념은 프레셰 공간의 개념과 서로 쌍대이다.

예

국소 콤팩트 공간 위의 측도 공간

시그마 콤팩트 국소 콤팩트 공간 $M$이 주어졌다고 하자. 이제, 연속 함수의 공간

${𝒞}^0(M,𝕂)$

위에, 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.

임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq M$에 대하여, 함수열 $f_i\upharpoonright K$는 $f\upharpoonright K$로 균등 수렴한다.

그렇다면 이는 위상 벡터 공간을 이룬다. 그 연속 쌍대 공간

$X=({𝒞}^0(M,𝕂){)}^{*}$

은 측도의 공간으로 해석할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.

임의의 콤팩트 집합 $𝒦\subseteq {𝒞}^0(M,𝕂)$에 대하여, 범함수열 ${\varphi }_i\upharpoonright 𝒦$는 ${\varphi }_i\upharpoonright 𝒦$로 균등 수렴한다.

그렇다면, $X$는 브라우너 공간이다.

매끄러운 다양체 위의 분포 공간

매끄러운 다양체 $M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 매끄러운 함수의 공간

${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,𝕂)$

위에, 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.

• 임의의 콤팩트 공간 $K\subseteq M$에 대하여, 함수열 $f_i$의 임의의 차수 도함수 ${\mathrm{\nabla }}_{X_1}{\mathrm{\nabla }}_{X_2}\cdots {\mathrm{\nabla }}_{X_n}{f}_i$는 $K$ 위에서 ${\mathrm{\nabla }}_{X_1}\cdots {\mathrm{\nabla }}_{X_n}f$로 균등 수렴한다.

이제, 이 위상 벡터 공간의 연속 쌍대 공간

$X=({𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,𝕂){)}^{*}$

은 분포의 공간으로 해석할 수 있다. 이 위에 다음과 같은 수렴 필요 충분 조건으로 정의되는 위상을 부여하자.

임의의 유계 집합 $ℬ\subseteq {𝒞}^0(M,𝕂)$에 대하여, 범함수열 ${\varphi }_i\upharpoonright ℬ$는 ${\varphi }_i\upharpoonright ℬ$로 균등 수렴한다.

그렇다면, $X$는 브라우너 공간이다.

슈타인 다양체

$M$이 슈타인 다양체(틀:Llang)라고 하자. $𝒪(M)$을 $M$에 있는 콤팩트 집합의 균등수렴의 일반적인 위상을 가진 $M$에 있는 정칙함수의 공간이라고 두자. $𝒪(M)$에 있는 유계 집합의 균등수렴의 일반적인 위상을 가진 $M$에 있는 해석적 범함수의 쌍대 공간 ${𝒪}^{\star }(M)$은 브라우너 공간이다.

또한, $G$를 콤팩트 생성 슈타인 군이라고 하자. $G$의 지수형 정칙 함수(틀:Llang)의 공간 ${𝒪}_{\exp }(G)$은 자연위상의 관점에서 볼 때 브라우너 공간이다.

역사

칼만 조지 브라우너 2세(틀:Llang)가 이 개념을 최초로 연구하였다.

각주

• 틀:서적 인용

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용틀:깨진 링크
• 틀:저널 인용틀:깨진 링크