시그마 콤팩트 공간

틀:위키데이터 속성 추적 일반위상수학에서 시그마 콤팩트 공간(σ-compact空間, 틀:Llang)은 콤팩트 공간의 개념의 여러 변형 가운데 하나이다.

정의

시그마 콤팩트 공간

위상 공간 $X$가 다음 조건을 만족시키면, 시그마 콤팩트 공간이라고 한다.

• 가산 개의 콤팩트 집합들의 합집합이다. 즉, $X={\bigcup }_{i=0}^{\mathrm{\infty }}{K}_i$인 콤팩트 집합의 열 $K_0,K_1,\dots \subseteq X$가 존재한다.

혹자는 시그마 콤팩트 공간의 정의에 국소 콤팩트 공간 조건을 추가로 가정한다.틀:Rp

반콤팩트 공간

위상 공간 $X$가 다음 조건을 만족시키면, 반콤팩트 공간이라고 한다.

• 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 $K_0,K_1,\dots \subseteq X$가 존재한다.
  • 임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq X$에 대하여, $K\subseteq K_i$인 자연수 $i\in \mathbb{N}$이 존재한다.

즉, 반콤팩트 공간은 시그마 콤팩트 공간에서 “점”을 “콤팩트 집합”으로 대체한 개념이다.

성질

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

콤팩트 공간 ⊊ 반콤팩트 공간 ⊊ 시그마 콤팩트 공간 ⊊ 린델뢰프 공간

모든 국소 콤팩트 린델뢰프 공간은 반콤팩트 공간이다. 틀:증명 국소 콤팩트 린델뢰프 공간 $X$가 주어졌다고 하자. 국소 콤팩트 조건에 따라,

$U_i\subseteq K_i(\mathrm{\forall }i\in I)$

인 열린 덮개 $(U_i{)}_{i\in I}$ 및 콤팩트 집합들의 집합족 $(K_i{)}_{i\in I}$가 존재한다. 린델뢰프 조건에 따라, $(U_i{)}_{i\in I}$의 가산 부분 덮개 $\{i_0,i_1,\dots \}\subseteq I$를 잡자. 이제,

$C_n=K_{i_0}\cup \cdots \cup K_{i_n}(n\in \mathbb{N})$

은 유한 개의 콤팩트 집합들의 합집합이므로 콤팩트 집합이며, 임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq X$는 $\{U_{i_0},U_{i_1},\dots \}$의 유한 개 원소의 합집합에 포함되므로, 어떤 $C_n$에 포함된다. 즉, $X$는 반콤팩트 공간이다. 틀:증명 끝 모든 제1 가산 반콤팩트 공간은 국소 콤팩트 공간이다. 틀:증명 귀류법을 사용하여, 제1 가산 반콤팩트 공간 $X$가 국소 콤팩트 공간이 아니라고 하자. 반콤팩트성에 따라, 다음 조건을 만족시키는 콤팩트 집합의 열 $K_0,K_1,\dots \subseteq X$을 잡자.

• 임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq X$에 대하여, $K\subseteq K_i$인 자연수 $i\in \mathbb{N}$이 존재한다.

귀류법의 가정에 따라, 콤팩트 근방이 존재하지 않는 점 $x\in X$를 잡자. 제1 가산성에 따라, $x$의 가산 국소 기저

$U_0\supseteq U_1\supseteq \cdots$

를 잡자. 임의의 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 $x_n\in ̸U_n\setminus K_n$을 고르자. 그렇다면,

$K=\{x\}\cup \{x_0,x_1,\dots \}$

는 콤팩트 집합이지만, 어떤 $K_n$에도 포함되지 않으며, 이는 모순이다. 틀:증명 끝

시그마 콤팩트 공간의 닫힌집합은 시그마 콤팩트 공간이다. 반콤팩트 공간의 닫힌집합은 반콤팩트 공간이다.

유한 개의 시그마 콤팩트 공간의 곱공간은 시그마 콤팩트 공간이다.틀:Rp 유한 개의 반콤팩트 공간의 곱공간은 반콤팩트 공간이다. 무한 개의 경우 두 명제 모두 성립하지 않는다. 틀:증명 만약

$X=\bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{X}_i$

$Y=\bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{Y}_i$

이며, $X_i,Y_i$가 콤팩트 집합이라면,

$X\times Y=\bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\bigcup _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{X}_i\times Y_j$

이며, $X_i\times Y_j$는 콤팩트 집합들이다. 만약 임의의 콤팩트 집합 $A\subseteq X$, $B\subseteq Y$에 대하여, $A\subseteq X_{i_A}$, $B\subseteq Y_{j_B}$인 $i_A,j_B\in \mathbb{N}$이 존재하며,

$p:X\times Y\to X$

$q:X\times Y\to Y$

가 사영 함수라면, 임의의 콤팩트 집합 $K\subseteq X\times Y$에 대하여,

$K\subseteq p(K)\times q(K)\subseteq X_{i_{p(K)}}\times Y_{j_{q(K)}}$

이다. 틀:증명 끝

시그마 콤팩트 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 X의 임의 콤팩트 부분공간이 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다면, X 역시 많아야 m의 르베그 덮개 차원을 갖는다.틀:Rp

예

가산 무한 이산 공간 $\mathbb{N}$은 반콤팩트 공간이지만, 그 가산 무한 개 곱공간 ${\mathbb{N}}^{{\mathrm{\aleph }}_0}$은 시그마 콤팩트 공간이 아니다.틀:Rp 틀:증명 곱공간을 ${\mathbb{N}}^{\omega }$로 적고, 사영 함수들을

$p_i:{\mathbb{N}}^{\omega }\to \mathbb{N}(i<\omega )$

로 적자. 임의의 콤팩트 집합의 열

$K_0,K_1,\dots \subseteq {\mathbb{N}}^{\omega }$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $p_i(K_j)$는 $\mathbb{N}$의 콤팩트 집합이므로, 유한 집합이다. 이제, 임의의 $i<\omega$에 대하여

$n_i\in \mathbb{N}\setminus p_i(K_i)$

를 잡자. 그렇다면,

$(n_i{)}_{i<\omega }\in ̸K_0\cup K_1\cup \cdots$

이므로, ${\mathbb{N}}^{\omega }$는 시그마 콤팩트 공간이 아니다. 틀:증명 끝 조르겐프라이 직선은 린델뢰프 공간이지만, 시그마 콤팩트 공간이 아니다. 틀:증명 만약 조르겐프라이 직선이 시그마 콤팩트 공간이라면, 조르겐프라이 평면 역시 시그마 콤팩트 공간이며, 특히 린델뢰프 공간이다. 이는 모순이다. 틀:증명 끝 유리수 집합 $\mathbb{Q}$는 시그마 콤팩트 공간이지만, 반콤팩트 공간이 아니다. 틀:증명 이는 $\mathbb{Q}$가 제1 가산 공간이지만, 국소 콤팩트 공간이 아니기 때문이다. 틀:증명 끝

외부 링크

• 틀:매스월드
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• 틀:플래닛매스
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• 틀:Proofwiki
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