균등 수렴

틀:위키데이터 속성 추적 틀:미적분학 해석학 및 일반위상수학에서 균등 수렴(均等收斂, 틀:Llang) 또는 고른 수렴 또는 평등 수렴(平等收斂) 또는 일양 수렴(一樣收斂)은 함수열이 모든 점에서 “동일한 속도”로 주어진 함수로 수렴하는 성질이다. 점별 수렴보다 더 강한 개념이며, 점별 수렴이 보존하지 않는 여러 성질을 보존한다. 예를 들어, 연속 함수의 열의 균등 극한은 연속 함수다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 집합 $X$
• 균등 공간 $(Y,{ℰ}_Y)$
• 함수의 그물 $(f_n:X\to Y{)}_{n\in (N,\lesssim )}$
• 함수 $f:X\to Y$

만약 이들이 다음 조건을 만족시킨다면, $(f_n{)}_{n\in N}$이 $f$로 균등 수렴한다고 하며, $f$를 $(f_n{)}_{n\in N}$의 균등 극한이라고 한다.

• 임의의 측근 $ϵ\in {ℰ}_Y$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 $N_{ϵ}\in N$이 존재한다.
  • 임의의 $n\gtrsim N_{ϵ}$ 및 $x\in X$에 대하여, $f_n(x){\approx }_{ϵ}f(x)$

이는 흔히

$f_n\rightrightarrows f$

라고 쓴다. 예를 들어, 만약 $Y=ℝ$가 실수선이며, 함수의 그물 $(f_n:X\to ℝ{)}_{n\in \mathbb{N}}$이 실수 값 함수의 열이라면, 이 조건은 다음과 같다.

• 임의의 양의 실수 $ϵ>0$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 $N_{ϵ}\in \mathbb{N}$이 존재한다.
  • 임의의 $n\ge N_{ϵ}$ 및 $x\in X$에 대하여, $|f_n(x)-f(x)|\le ϵ$

사실, 균등 수렴은 함수 집합 $Y^X$의 균등 수렴 위상에서의 수렴이다. 특히, $Y=ℝ$인 경우, 균등 수렴은 ${ℝ}^X$ 위에 균등 거리 함수

$d(f,g)=\underset{x\in X}{\sup }|f(x)-g(x)|$

로부터 유도되는 위상에 대한 수렴이다.

성질

함의 관계

집합 $X$를 정의역으로 하고 균등 공간 $(Y,{ℰ}_Y)$를 공역으로 하는 함수의 그물 $(f_n:X\to Y{)}_{n\in (N,\lesssim )}$이 함수 $f:X\to Y$로 균등 수렴한다면, $(f_n{)}_{n\in N}$은 $f$로 점별 수렴한다.

집합 $X$를 정의역으로 하고 아벨 위상군 $(Y,+)$를 공역으로 하는 함수열 $(f_n:X\to Y{)}_{n\in \mathbb{N}}$의 급수 ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$이 균등 수렴한다면, $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$는 상수 함수 $0:X\to Y$로 균등 수렴한다.

집합 $X$를 정의역으로 하고 완비 균등 공간 $(Y,{ℰ}_Y)$를 공역으로 하는 함수의 그물 $(f_n:X\to Y{)}_{n\in (N,\lesssim )}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치다.

• $f_n$은 균등 수렴한다.
• $f_n$은 ($Y^X$의 균등 수렴 균등 구조에 대하여) 코시 그물이다. 즉, 임의의 측근 $ϵ\in {ℰ}_Y$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 $N_{ϵ}\in N$이 존재한다.
  • 임의의 $m,n\gtrsim N_{ϵ}$ 및 $x\in X$에 대하여, $f_m(x){\approx }_{ϵ}{f}_n(x)$

(표준적인 균등 구조를 갖춘) 실수선 $Y=ℝ$은 완비 균등 공간이다. 또한, 함수의 열 $(f_n:X\to Y{)}_{n\in \mathbb{N}}$은 그물의 특수한 경우다. 이 경우, 코시 그물 조건은 다음과 같다.

• 임의의 양의 실수 $ϵ>0$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 $N_{ϵ}\in \mathbb{N}$이 존재한다.
  • 임의의 $m,n\ge N_{ϵ}$ 및 $x\in X$에 대하여, $|f_m(x)-f_n(x)|\le ϵ$

만약 $Y$의 완비성을 가정하지 않는다면, 균등 수렴하는 함수 그물은 코시 그물이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, $X$가 한원소 집합인 경우를 생각할 수 있다.

균등 수렴을 위한 다양한 수렴 판정법이 존재한다.

• 바이어슈트라스 M-판정법
• 균등 수렴에 대한 디리클레 판정법
• 균등 수렴에 대한 아벨 판정법

연속 함수의 보존

위상 공간 $X$를 정의역으로 하고 균등 공간 $(Y,{ℰ}_Y)$를 공역으로 하는 연속 함수의 그물 $(f_n:X\to Y{)}_{n\in (N,\lesssim )}$이 함수 $f:X\to Y$로 균등 수렴한다면, $f$ 역시 연속 함수다. 틀:증명 임의의 $x_0\in X$ 및 임의의 측근 $ϵ\in {ℰ}_Y$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 $U\ni x_0$을 찾아야 한다.

• 임의의 $x\in U$에 대하여, $f(x){\approx }_{ϵ}f(x_0)$

다음을 만족시키는 측근 $ϵ/3\in {ℰ}_Y$을 고르자.

$(ϵ/3)\circ (ϵ/3)\circ (ϵ/3)\subset ϵ$

$(ϵ/3{)}^{-1}=ϵ/3$

가정에 따라, 다음을 만족시키는 $N_{ϵ}\in N$이 존재한다.

• 임의의 $n\gtrsim N_{ϵ}$ 및 $x\in X$에 대하여, $f_n(x){\approx }_{ϵ/3}f(x)$

$f_{N_{ϵ}}$은 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 열린 근방 $U\ni x_0$이 존재한다.

• 임의의 $x\in U$에 대하여, $f_{N_{ϵ}}(x){\approx }_{ϵ/3}{f}_{N_{ϵ}}(x_0)$

이에 따라, 임의의 $x\in U$에 대하여,

$f(x){\approx }_{ϵ/3}{f}_{N_{ϵ}}(x){\approx }_{ϵ/3}{f}_{N_{ϵ}}(x_0){\approx }_{ϵ/3}f(x_0)$

이므로

$f(x){\approx }_{ϵ}f(x_0)$

이다. 틀:증명 끝

반대로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 공간 $X$
• 연속 함수의 단조 그물 $(f_n:X\to ℝ{)}_{n\in (N,\lesssim )}$. 즉, 다음 두 조건이 성립한다.
  • (연속 함수의 그물) 모든 $f_n$은 연속 함수다.
  • (단조 그물) 임의의 $x\in X$ 및 $n\lesssim n^{\prime }$에 대하여, $f_n(x)\le f_{n^{\prime }}(x)$
• 연속 함수 $f:X\to ℝ$

디니 정리에 따르면, 만약 $f_n$이 $f$로 점별 수렴한다면, $f_n$은 $f$로 균등 수렴한다. 이는 $X$가 콤팩트 공간이라고 가정하지 않으면 참이 아니다. 예를 들어, 연속 함수의 단조열 $(x\mapsto x^n):(0,1)\to ℝ$ ($n\in \mathbb{N}$)은 연속 함수 0으로 점별 수렴하지만, 이는 균등 수렴이 아니다. 단조 그물의 가정 역시 필수적이다. 예를 들어, 연속 함수의 열 $(x\mapsto nx\exp (-n{x}^2)):[0,1]\to ℝ$은 연속 함수 0으로 점별 수렴하지만, 이는 균등 수렴이 아니다. 틀:증명 임의의 양의 실수 $ϵ\in {ℝ}^{+}$가 주어졌다고 하자. 임의의 $n\in N$에 대하여,

$K_{ϵ,n}=\{x\in X:|f(x)-f_n(x)|\ge ϵ\}\subseteq X$

라고 정의하자. $K_{ϵ,n}$은 콤팩트 공간 $X$의 닫힌집합이며, 따라서 콤팩트 집합이다. 임의의 $n\lesssim n^{\prime }$에 대하여,

$|f(x)-f_n(x)|=f(x)-f_n(x)\gtrsim f(x)-f_{n^{\prime }}(x)=|f(x)-f_{n^{\prime }}(x)|$

이므로, $K_n\supset K_{n^{\prime }}$이다. 따라서 $(K_{ϵ,n}{)}_{n\in N}$은 하향 집합을 이룬다. 임의의 $x\in X$에 대하여, $(f_n(x){)}_{n\in N}$이 $f(x)$로 수렴하므로, $x\in ̸K_{ϵ,n}$인 $n\in N$이 존재한다. 즉, $\bigcap _{n\in N}{K}_{ϵ,n}=\varnothing$이다. 칸토어 교점 정리에 따라, $K_{ϵ,N_{ϵ}}=\varnothing$인 $N_{ϵ}\in N$이 존재한다. 하향성에 따라, 임의의 $n\gtrsim N_{ϵ}$에 대하여 $K_{ϵ,n}=\varnothing$이다. 즉, $(f_n{)}_{n\in N}$은 $f$로 균등 수렴한다. 틀:증명 끝

적분과의 호환

리만 적분 가능 함수의 열 $(f_n:[a,b]\to ℝ{)}_{n\in \mathbb{N}}$이 함수 $f:[a,b]\to ℝ$로 균등 수렴한다면, $f$ 역시 리만 적분 가능 함수이며, 또한

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}fdx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_{n}dx$

이다.

미분과의 호환

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 미분 가능 함수의 열 $(f_n:[a,b]\to ℝ{)}_{n\in \mathbb{N}}$
• 함수 $g:[a,b]\to ℝ$

또한, 이들이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x_0)\in ℝ$이 존재하는 $x_0\in [a,b]$가 존재한다.
• ${f_n}^{\prime }$은 $g$로 균등 수렴한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

• $f_n$은 어떤 미분 가능 함수 $f:[a,b]\to ℝ$로 균등 수렴한다.
• $f^{\prime }=g$

정칙 함수의 보존

복소평면의 열린집합 $U\subseteq ℂ$를 정의역으로 하는 복소수 값 정칙 함수의 열 $(f_n:U\to ℂ{)}_{n\in \mathbb{N}}$이 함수 $f:U\to ℂ$로 균등 수렴한다면, $f$는 정칙 함수다. 이는 모레라 정리의 따름정리다.

예

함수열

$f_n:[0,1]\to ℝ(n\in {\mathbb{Z}}^{+})$

을 생각하자. 만약

$f_n(x)=x/n(\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{Z}}^{+},x\in [0,1])$

라면, $f_n$은 0으로 균등 수렴한다. 반면, 만약

$f_n(x)=x^n(\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{Z}}^{+},x\in [0,1])$

라면, $f_n$은 함수

$f:[0,1]\to ℝ$

$f(x)=\{\begin{array}{cc}0& x\in [0,1)\\ 1& x=1\end{array}$

로 점별 수렴하지만, 균등 수렴하지 않는다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:Eom