국소 콤팩트 공간

틀:위키데이터 속성 추적 일반위상수학에서 국소 콤팩트 공간(局所compact空間, 틀:Llang)은 국소적으로 콤팩트한 구조를 갖는 위상 공간이다.

정의

임의의 위상 공간 $X$에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, $X$를 국소 콤팩트 공간이라고 한다.틀:Rp

• $X$의 모든 점은 항상 콤팩트 근방을 갖는다.

하우스도르프 분리 공리를 가정한다면, 국소 콤팩트 공간의 개념은 다음과 같이 다양하게 정의할 수 있다. 구체적으로, 하우스도르프 공간 $X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• (1) 국소 콤팩트 공간이다.
• (2) $X$의 모든 점은 닫힌 콤팩트 근방을 갖는다.
• (2’) $X$의 모든 점은 상대 콤팩트 근방을 갖는다.
• (2’’) $X$의 모든 점은 상대 콤팩트 국소 기저를 갖는다.
• (3) $X$의 모든 점은 콤팩트 국소 기저를 갖는다.
• (4) $X$의 모든 점은 닫힌 콤팩트 국소 기저를 갖는다.
• (5) $X$는 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간의 열린집합과 위상동형이다.틀:Rp
• (5’) $X$의 알렉산드로프 콤팩트화가 하우스도르프 공간이다.틀:Rp

그러나 하우스도르프 공간이 아닌 위상 공간의 경우 위 조건들이 서로 동치이지 않다. 마지막 두 조건은 스스로 하우스도르프 조건을 함의하며, 조건 (4)는 (완비) 정칙 조건을 함의한다. 위 조건들의 일반적인 함의 관계는 다음과 같다.

		(2) ↔ (2’) ↔ (2’’)
	↗		↘
(5) ↔ (5’) → (4)				(1)
	↘		↗
		(3)

성질

함의 관계

콤팩트 공간은 (자명하게) 국소 콤팩트 공간이다.틀:Rp

모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 베르 공간이며 (베르 범주 정리) 또한 티호노프 공간이다. 틀:증명 $X$가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이며, $F\subseteq X$가 닫힌집합이며, $x\in X\setminus F$라고 하자. $x$의 상대 콤팩트 근방 $U$를 고르자. 그렇다면 $\mathrm{cl}U$는 콤팩트 집합이므로, 티호노프 공간이다. 따라서 $x$와

$F_0=(\mathrm{cl}U\setminus U)\cup (\mathrm{cl}U\cap F)$

를 분리하는 연속 함수

$f_0:\mathrm{cl}U\to [0,1]$

$f_0(x)=0$

$f_0{|}_{F_0}=1$

가 존재한다. $\mathrm{cl}U$와 $X\setminus U$가 $X$의 유한 닫힌 덮개를 이루며, 그 교집합은 $F_0$에 포함되므로, 함수

$f:X\to [0,1]$

$f{|}_{\mathrm{cl}U}=f_0$

$f{|}_{X\setminus U}=1$

는 잘 정의되며, 연속 함수이다. 또한 $f$는

$f(x)=0$

$f{|}_F=1$

을 만족한다. 틀:증명 끝

연산에 대한 닫힘

국소 콤팩트 공간 $X$와 위상 공간 $Y$가 주어졌다고 하자. 만약 전사 연속 열린 함수 $f:X\to Y$가 존재한다면, $Y$ 역시 국소 콤팩트 공간이다.

국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 닫힌집합과 열린집합은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.틀:Rp 반대로, 하우스도르프 공간의 국소 콤팩트 조밀 집합은 열린집합이다.틀:Rp틀:Rp 즉, 하우스도르프 공간의 국소 콤팩트 집합은 항상 열린집합과 닫힌집합의 교집합이다. 틀:증명 하우스도르프 공간 $X$의 부분집합 $D\subseteq X$가 국소 콤팩트 집합이자 조밀 집합이라고 하자. 임의의 $x\in D$에 대하여,

$x\in U\subseteq D$

인 $X$의 열린집합 $U$를 찾으면 족하다.

$x\in D\cap U\subseteq K\subseteq D$

인 $X$의 열린집합 $U$ 및 콤팩트 집합 $K$를 고르자. $\mathrm{cl}D=X$이며, $K$가 $X$의 닫힌집합이므로,

$x\in U=U\cap X=U\cap \mathrm{cl}D\subseteq \mathrm{cl}(U\cap D)\subseteq \mathrm{cl}K=K\subseteq D$

이다. 틀:증명 끝

위상 공간들의 집합 $(X_i{)}_{i\in I}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 곱공간 $\prod _{i\in I}{X}_i$은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.
• 모든 $X_i$는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 유한 개를 제외하면 콤팩트 공간이다.

위상군

$G$가 국소 콤팩트 하우스도르프 위상군이며, $H\subseteq G$가 그 부분군이라고 하자. 그렇다면, 잉여류 공간 $G/H$는 국소 콤팩트 공간이다.틀:Rp

위상 벡터 공간

$𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$ 및 하우스도르프 $𝕂$-위상 벡터 공간 $V$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.틀:Rp

• 국소 콤팩트 공간이다.
• 국소 유계 공간이며, 모든 유계 닫힌집합은 콤팩트 집합이다.
• 유한 차원 공간이다. 즉, 벡터 공간 ${𝕂}^n$ ($n\in \mathbb{N}$)과 동형이다.
• 위상 벡터 공간 ${𝕂}^n$ ($n\in \mathbb{N}$)과 동형이다.

예

(유한 차원) 유클리드 공간 ${ℝ}^n$ 은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 그러나 가산 무한 곱공간 ${ℝ}^{{\mathrm{\aleph }}_0}$는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.틀:Rp

p진수선 ${\mathbb{Q}}_p$은 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다.

모든 이산 공간은 자명하게 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 모든 비이산 공간은 (하우스도르프 공간이 아닐 수 있지만) 항상 자명하게 국소 콤팩트 공간이다.

유리수 공간 $\mathbb{Q}$는 하우스도르프 공간이지만 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이 아니다.틀:Rp

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab