함수의 그래프

함수 $f(x,y)=(x^2+3y^2)\exp (1-x^2-y^2)$의 그래프

수학에서, 함수의 그래프(틀:Llang)는 정의역의 값과 그에 대한 함수 값을 좌표로 하는 점들로 이루어진 그림이다.

정의

함수 $f:X\to Y$의 그래프는 정의역과 공역의 곱집합의 다음과 같은 부분 집합이다.

$\mathrm{graph}f=\{(x,f(x)):x\in X\}\subseteq X\times Y$

$m$차원 실수 벡터의 유클리드 공간의 부분 집합 $S\subseteq {ℝ}^m$과 $n$차원 실수 벡터의 유클리드 공간 ${ℝ}^n$ 사이의 함수 $f:S\to {ℝ}^n$의 그래프는 $m+n$차원 유클리드 공간 ${ℝ}^{m+n}$의 부분 집합이다. 특히, 함수 $f:ℝ\to ℝ$의 그래프는 평면 위에서 나타낼 수 있으며, 함수 $f:{ℝ}^2\to ℝ$의 그래프는 3차원 공간 위에서 나타낼 수 있다.

성질

만약 $X$와 $Y$가 위상 공간이며 $f:X\to Y$가 연속 함수라면, $x\mapsto (x,f(x))$는 $X\to X\times Y$ 매장이며, $\mathrm{graph}f$는 $X$와 위상 동형이다. 만약 $X$와 $Y$가 매끄러운 다양체이며 $f:X\to Y$가 매끄러운 함수라면, $x\mapsto (x,f(x))$는 $X\to X\times Y$ 매끄러운 매장이며, $\mathrm{graph}f$는 $X$와 미분 동형이다.

닫힌집합일 조건

위상 공간 $Y$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $Y$는 하우스도르프 공간이다.
• 임의의 위상 공간 $X$ 및 연속 함수 $f:X\to Y$에 대하여, $\mathrm{graph}f\subseteq X\times Y$는 닫힌집합이다.

만약 $Y$가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, 위상 공간 $X$ 및 함수 $f:X\to Y$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $f$는 연속 함수이다.
• $\mathrm{graph}f\subseteq X\times Y$는 닫힌집합이다.

예

• 
  함수 $f(x)=x^3-9x$의 그래프
• 
  함수 $f(x)=x^4-4^x$의 그래프
• 
  함수 $f(x,y)=\sin x^2\cos y^2$의 그래프
• 
  함수 $f(x,y)=-(\cos x^2+\cos y^2{)}^2$의 그래프

같이 보기

• 점근선
• 차트
• 오목함수
• 볼록 함수
• 등치선
• 임계점 (수학)
• 미분
• 기울기

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용
  • 다양한 함수의 그래프의 예시