경로 (위상수학)

R²의 점 A에서 점 B로의 경로. 일반적으로 두 점을 잇는 경로는 여러 개가 있다.

일반위상수학에서, 위상 공간 X 속의 경로(經路, 틀:Llang)는 폐구간 $[0, 1]$ 로부터 $X$ 로 가는 연속함수이다.

정의

$X$ 가 위상 공간이라고 하자. $X$ 속의 경로는 연속 함수 $f : [0, 1] \to X$ 이다. 여기서 $[0, 1] \subset ℝ$ 은 표준적인 위상을 가진 폐구간이다. f(0)을 경로의 시작점(initial point)이라 하고, f(1)을 경로의 끝점(terminal point)이라 한다. 시작점과 끝점이 같은 경로를 고리(틀:Llang)라고 한다.

여기에서 주의할 점은, 경로란 단순히 '곡선과 유사한' X의 부분집합을 말하는 것이 아니라, 매개화에 대한 정보도 함께 포함하고 있다는 것이다. 예를 들어 실직선의 f(x) = x와 g(x) = x²은 서로 다른 경로다.

유클리드 공간의 경로

유클리드 공간 $ℝ^{n}$ 에서 정의되는 경로는 $𝐜 : [a, b] \to ℝ^{n}$ 로 정의되는 사상이다. 이러한 경로 $𝐜$ 에 대해서 $t$ 가 $[a, b]$ 에서 변할 때 점 $𝐜 (t)$ 들의 집합 $C$ 를 곡선이라 하고 $𝐜 (a)$ 와 $𝐜 (b)$ 를 곡선 $C$ 의 끝점이라고 한다. 이때 경로 $𝐜$ 는 곡선 $C$ 를 매개변수화 한다고 한다. 만약 $n = 3$ 이라면 $𝐜 (t) = (x (t), y (t), z (t))$ 으로 나타낼 수 있는데 이때 $x (t)$ , $y (t)$ , $z (t)$ 들을 각각 경로 $𝐜$ 의 성분함수들이라고 한다. 3이 아닌 n에 대해서도 같은 방식으로 정의한다.

속도와 속력

틀:참고 만약 경로 $𝐜$ 가 미분 가능하다면 매 $t$ 에서의 속도는 다음과 같이 정의된다.

𝐜^{'} (t) = \lim_{h \to 0} \frac{𝐜 (t + h) - 𝐜 (t)}{h}

보통 그림으로 나타낼 때는 경로 $𝐜$ 가 매개변수화하는 곡선 $C$ 의 각 점을 시작점으로 속도벡터를 그린다. 이때 그 지점에서의 속력은 속도벡터의 크기, 즉 $‖ 𝐜^{'} (t) ‖$ 로 정의한다. 만약 $n = 3$ 이라면 $𝐜 (t) = (x (t), y (t), z (t))$ 으로 나타날 것이고 어떤 점 $t = t_{0}$ 에서의 속도는 연쇄법칙에 의하여 $𝐜^{'} (t_{0}) = (x^{'} (t_{0}), y^{'} (t_{0}), z^{'} (t_{0})) = x^{'} (t_{0}) 𝐢 + y^{'} (t_{0}) 𝐣 + z^{'} (t_{0}) 𝐤$ 이며 속력은 이 벡터의 크기인 $‖ 𝐜^{'} (t_{0}) ‖ = \sqrt{{(x^{'} (t_{0}))}^{2} + {(y^{'} (t_{0}))}^{2} + {(z^{'} (t_{0}))}^{2}}$ 이다.

접벡터와 접선

틀:참고 속도벡터 $𝐜^{'} (t_{0})$ 는 $t = t_{0}$ 일 때 경로 $𝐜 (t_{0})$ 와 접한다. 만약 $𝐜^{'} (t_{0}) \neq 𝟎$ 이라면 $𝐜^{'} (t_{0})$ 는 경로 $𝐜$ 로 매개변수화된 곡선 $C$ 의 $t = t_{0}$ 에서의 접벡터이다. 그리고 $𝐜 (t_{0})$ 로부터 이 접벡터 방향으로 뻗어나가는 직선을 $t = t_{0}$ 에서의 접선이라고 한다. 이 직선은 다음과 같은 경로 $𝐥$ 로 매개변수화되어있다.

𝐥 (t) = 𝐜 (t_{0}) + (t - t_{0}) 𝐜^{'} (t_{0})

참고 문헌

틀:서적 인용

경로 (위상수학)

목차

정의

유클리드 공간의 경로

속도와 속력

접벡터와 접선

참고 문헌

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경로 (위상수학)

정의

유클리드 공간의 경로

속도와 속력

접벡터와 접선

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