이음 (위상수학)

대수적 위상수학에서 이음(틀:Llang)은 두 위상 공간 $X$ , $Y$ 가 주어졌을 때, $X$ 와 $Y$ 의 분리합집합에, $X$ 의 한 점과 $Y$ 의 한 점을 잇는 모든 선분들을 추가하여 얻는 위상 공간이다.

정의

두 위상 공간 $X$ , $Y$ 의 이음은 다음과 같은 곱공간의 몫공간이다.

X ⋆ Y = \frac{X \times Y \times [0, 1]}{\sim}

여기서 동치 관계 $\sim$ 는 다음과 같다.

(x, y, t) \sim (x^{'}, y^{'}, t^{'}) ⟺ (t = t^{'}) \land (x = x^{'} \lor t = 1) \land (y = y^{'} \lor t = 0)

즉,

(x, y, 0) \sim (x^{'}, y, 0)

(x, y, 1) \sim (x, y^{'}, 1)

이다. 다시 말해, 기둥 $X \times Y \times [0, 1]$ 을 양끝에서 서로 반대 방향으로 찌그려뜨린 것이다.

한원소 공간 $Y = {∙}$ 과의 이음

X ⋆ {∙} ≅ \frac{X \times [0, 1]}{X \times {1}}

을 $X$ 의 뿔(틀:Llang)이라고 한다.

두 점을 가진 공간 $(X, ∙_{X})$ , $(Y, ∙_{Y})$ 의 축소 이음(틀:Llang)은 다음과 같다.

X * Y = \frac{X ⋆ Y}{X ⋆ {∙_{Y}} \cup {∙_{X}} ⋆ Y}

이는 사실 분쇄곱 $X \land Y$ 의 축소 현수와 위상 동형이다. 이음과 축소 이음은 서로 호모토피 동치이다.

초구의 이음은 다음과 같이 초구이다.

𝕊^{m} ⋆ 𝕊^{n} ≅ 𝕊^{m + n + 1}

크기 2의 이산 공간 $𝕊^{0}$ 과의 이음은 현수와 위상 동형이다.