분해 불가능 대상

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서 분해 불가능 대상(分解不可能對象, 틀:Llang)은 더 작은 대상들의 쌍대곱으로 나타낼 수 없는 대상이다.

정의

시작 대상 $0\in 𝒞$ 및 모든 쌍대곱을 갖는 범주 $𝒞$의 대상 $X$가 다음 조건을 만족시킨다면, 분해 불가능 대상(틀:Llang)이라고 한다.

• 임의의 대상들의 집합 $\{X_i{\}}_{i\in I}$ 및 동형 $\coprod _{i\in I}{X}_i:X$에 대하여, $X\cong X_{i_0}$이며 $X_i\cong 0\mathrm{\forall }i\in I\setminus \{i_0\}$가 되는 $i_0\in I$가 유일하게 존재한다.

여기서 $\coprod$는 쌍대곱을 뜻한다.

마찬가지로, 끝 대상 $1\in 𝒞$ 및 모든 곱을 갖는 범주 $𝒞$의 대상 $X$가 다음 조건을 만족시킨다면, 쌍대 분해 불가능 대상(틀:Llang)이라고 한다.

• 임의의 대상들의 집합 $\{X_i{\}}_{i\in I}$ 및 동형 $\prod _{i\in I}{X}_i:X$에 대하여, $X\cong X_{i_0}$이며 $X_i\cong 1\mathrm{\forall }i\in I\setminus \{i_0\}$가 되는 $i_0\in I$가 유일하게 존재한다.

여기서 $\prod$는 곱을 뜻한다.

예

집합

집합과 함수의 범주 $\mathrm{Set}$에서, 분해 불가능 대상은 한원소 집합이다.

준층

작은 범주 $𝒞$가 주어졌을 때, 준층 범주 ${\mathrm{Set}}^{{𝒞}^{\mathrm{op}}}$ 속의 대상 $ℱ$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• 분해 불가능 대상이며, 사영 대상이다.
• $ℱ$에서 어떤 표현 가능 준층 ${\mathrm{hom}}_{𝒞}(-,X)$으로 가는 분할 단사 사상 $ℱ\to {\mathrm{hom}}_{𝒞}(-,X)$이 존재한다.

가군

환 $R$가 주어졌을 때, 분해 불가능 왼쪽 가군(틀:Llang)은 $R$-왼쪽 가군 범주 ${}_R\mathrm{Mod}$의 분해 불가능 대상이다. (오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다.) 즉, $M=M^{\prime }\oplus M^{″}$와 같은 꼴로 분해할 수 없는 가군을 뜻한다.

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 ${}_{R}M$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 분해 불가능 가군이다.
• 영가군이 아니며, 자기 사상환 $\mathrm{End}{(}_{R}M{,}_{R}M)$의 모든 멱등원은 0 또는 1이다.

이는 만약 자기 사상환 $\mathrm{End}{(}_{R}M{,}_{R}M)$의 멱등원 $f:M\to M$이 주어졌을 때, $M=\ker f\oplus \mathrm{im}f$가 되기 때문이다.

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 ${}_{R}M$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 유한한 길이를 갖는다.
• 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.
• 합성열을 갖는다.

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 ${}_{R}M$이 유한한 길이를 갖는다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 분해 불가능 가군이다.
• 영가군이 아니며, 자기 사상환 $\mathrm{End}{(}_{R}M{,}_{R}M)$은 국소환이다.
• (피팅 보조정리, 틀:Llang) 모든 자기 사상은 자기 동형 사상이거나 멱영 함수이다.

이는 자기 사상 $f:M\to M$이 주어졌을 때, 충분히 큰 $k\in \mathbb{N}$에 대하여 $M=\ker f^k\oplus \mathrm{im}{f}^k$임을 보여 증명할 수 있다.

체 $K$ 위의 가군(=벡터 공간)의 경우, 분해 불가능 벡터 공간은 1차원 벡터 공간과 동치이다.

모든 왼쪽 아르틴 가군은 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군들의 직합과 동형이다. 크룰-슈미트 정리(틀:Llang)에 따르면, 환 $R$ 위의 왼쪽 가군 ${}_{R}M$이 유한한 길이를 갖는다면, $M$을 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군의 직합으로 나타내는 방법은 유일하다. 즉, 만약 $M$이 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군의 직합 $M_1\oplus \cdots \oplus M_r$ 및 $N_1\oplus \cdots \oplus N_s$와 동형이라면, $r=s$이며, $M_i\cong N_{j(i)}\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,r\}$인 $j\in \mathrm{Sym}(r)$가 존재한다.

모든 단순 가군은 분해 불가능 가군이다. 그러나 단순 가군이 아닌 분해 불가능 가군이 존재한다.

군

군에 대하여 가군과 유사한 결과들이 존재한다.

군 $G$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 쌍대 분해 불가능 군이다. 즉, 군의 범주 $\mathrm{Grp}$의 쌍대 분해 불가능 대상이다. 즉, 만약 $G\cong H\times K$라면, $H=1$과 $K=1$ 가운데 정확히 하나가 성립한다.
• 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하는, 자기 사상 모노이드 $\mathrm{End}(G)$의 멱등원은 0 또는 1이다. (여기서 0은 모든 원소를 군의 항등원으로 대응시키는 자기 사상 $g\mapsto 1$이다.)

군 $G$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건 및 내림 사슬 조건을 만족한다.
• 주합성열을 갖는다.

군 $G$의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건 및 내림 사슬 조건을 만족시킨다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 쌍대 분해 불가능 군이다.
• 자명군이 아니며, 임의의 두 자기 사상 $\varphi ,\psi \in \mathrm{End}(G)$에 대하여, 만약 $\varphi$와 $\psi$가 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하며, $\varphi (G)$의 원소와 $\psi (G)$의 원소가 가환하며, $\varphi$와 $\psi$가 자기 동형 사상이 아니라면, 자기 사상 $\varphi +\psi :g\mapsto \varphi (g)\psi (g)$ 역시 자기 동형 사상이 아니다.틀:Rp
• (피팅 보조정리, 틀:Llang) 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하는 모든 자기 사상은 자기 동형 사상이거나 멱영 함수이다. (여기서 멱영 함수는 충분히 거듭 합성하면 0이 되는 함수를 뜻한다.)틀:Rp

군 $G$의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 내림 사슬 조건을 만족시킨다면, $G$는 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군의 직접곱과 동형이다. 크룰-슈미트 정리(틀:Llang)에 따르면, 군 $G$의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건 및 내림 사슬 조건을 만족시킨다면, $G$를 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군들의 직접곱으로 나타내는 방법은 유일하다. 즉, 만약 $G$가 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군들의 직접곱 $G_1\times \cdots \times G_r$ 및 $H_1\times \cdots \times H_s$와 동형이라면, $r=s$이며, $G_i\cong H_{j(i)}\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,r\}$인 $j\in \mathrm{Sym}(r)$가 존재한다.틀:Rp

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:매스월드
• 틀:Groupprops
• 틀:Eom