단순 가군

틀:위키데이터 속성 추적 환론에서 단순 가군(單純加群, 틀:Llang)은 그 부분가군이 자신 또는 0밖에 없는 가군이다. 즉, 0이 아닌 원소 하나만으로 생성되는 부분가군이 항상 전체 가군과 같은 경우다.

정의

환 $R$의 오른쪽 가군 $M$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 오른쪽 가군 $M$을 단순 오른쪽 가군(틀:Llang)이라고 한다.

• $M$은 정확히 두 개의 부분 $R$-가군을 갖는다. (이들은 영가군 $\{0\}$ 및 $M$ 전체이다.)
• $M$의 길이가 1이다.
• $M$은 영가군이 아니며, 임의의 $m\in M\setminus \{0\}$에 대하여 순환 가군(틀:Llang) $(m)=M$이다.
• $M\cong R/𝔪$인 극대 오른쪽 아이디얼 $𝔪\subset R$가 존재한다.

왼쪽 가군에 대해서도 마찬가지 정의를 내릴 수 있다.

기약 표현

틀:본문 군 표현은 체를 계수로 하는 군환에 대한 가군이다. 즉, $G$가 군이고, $V$가 체 $k$에 대한 벡터 공간이라면, 표현 $G\to \mathrm{GL}(V)$는 군환 $k[G]$에 대한 가군과 같다. 이 경우, 가군으로서 단순 가군인 군 표현을 기약 표현(틀:Lang)이라고 한다. 즉, 기약표현은 (자신 또는 0차원 표현을 제외한) 부분표현을 가지지 않는 표현이다.

예

영가군은 정의에 따라 단순 가군이 아니다.

단순 $\mathbb{Z}$-가군은 소수 크기의 순환군 $\mathbb{Z}/(p)$이다.

외부 링크

• 틀:매스월드

같이 보기

• 반단순 가군